Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метод итераций. Рассмотрим систему нелинейных уравнений специального вида
Рассмотрим систему нелинейных уравнений специального вида , (4.1) где . Решение системы (4.1) будем искать как предел последовательности , где . Теорема 4.1. Пусть функции действительны, определены и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной области , причем · для всех выполняется ; · . Тогда последовательность сходится при любом выборе начального приближения , и предельный вектор является в области единственным решением системы (4.1). Кроме того, имеет место неравенство . (4.2) Как было сказано в главе 3, лабораторная работа по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем» состоит из двух частей. Во второй части работы требуется найти приближенное решение системы с заданной точностью. Пример. Найти приближенное решение системы в квадрате с точностью . Решение. Перепишем систему в виде: Пусть . Введем функции . Запишем матрицу Якоби этой системы функций: . Тогда Так как при любом имеем , то в квадрате существует единственное решение данной системы. При этом , где . Положим , тогда и . Следовательно, последнее неравенство для определения количества итераций запишется в виде: . Решая данное неравенство, получаем . Итак, является приближенным решением системы, удовлетворяющим заданной точности. В листинге 4.1 приведен документ MathCad, в котором реализован метод итераций.
Листинг 4.1. Метод итераций
|