Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Преобразование Лорана и его свойства






    ПРЕДИСЛОВИЕ

     

    Настоящее пособие содержит общие теоретические сведения по z – преобразованию, которое называется также преобразованием Лорана и применению его к решению разностных уравнений и систем уравнений. Изложению этих теоретических сведений посвящена первая глава. Во второй главе формулируются варианты домашнего вычислительного задания, приводятся примеры решения разностных уравнений и систем, а также рассматриваются примеры решения этих уравнений в среде MathCad. Третья глава посвящена описанию численных методов решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. В четвертой главе приводятся некоторые методы численного решения систем алгебраических уравнений.

     

    ГЛАВА 1. Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

    В этой главе дается понятие z – преобразования, которое называется также преобразованием Лорана, и рассматриваются его свойства.

     

    Преобразование Лорана и его свойства

     

    Пусть задана последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию:

    , для некоторых чисел . (1.1)

    Такую последовательность будем называть последовательностью-оригиналом.

    Изображением по Лорану (z-преобразованием), соответствующим оригиналу , называется функция комплексного переменного

    . (1.2)

    Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать знаком . При выполнении условия (1.1) последовательности соответствует функция аналитическая во внешности круга . Обратно, каждая такая функция однозначно определяет последовательность , которую можно найти одним из следующих способов.

    1. Так как правую часть (1.2) можно рассматривать как ряд Лорана функции , то по формуле для коэффициентов ряда Лорана, находим

    . (1.3)

    2. Так как ряд представляет собой ряд Тейлора функции , то согласно формуле для коэффициентов ряда Тейлора, находим

    .

    3. Согласно основной теореме теории вычетов, из формулы (1.3) следует

    ,

    где сумма распространяется на все особые точки функции .

    При применении z-преобразования, важно знать, какие операции над изображениями соответствую определенным действиям над последовательностями-оригиналами и наоборот.

    Теорема 1.1 (теорема линейности). Пусть - оригиналы, а - их изображения. Тогда

    .

    Теорема 1.2 (теорема опережения). Если , то

    Доказательство. По определению z-преобразования, имеем

    .

    Теорема доказана.

    Теорема 1.3 (теорема о свертке). Если - оригиналы, а - их изображения, то

    .

    Доказательство. Перемножая и , получаем

    .

    Теорема доказана.

    Теорема 1.4 (дифференцирование изображения). Пусть . Тогда

    .

    В следующей таблице приведены некоторые последовательности-оригиналы и их изображения.

     

    Таблица 1.1. Соответствия при z-преобразовании

     

     
     
     
     

     

    Пример. Найти z-преобразование последовательности-оригинала .

    Решение. По формуле Эйлера имеем

    .






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.