Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами и систем уравнений с помощью z - преобразования






     

    Линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

    . (1.4)

    Число называется порядком уравнения.

    Для того чтобы решение уравнения получалось вполне определенным, должны быть заданы начальные условия . В этом случае, полагая в уравнении (1.4) , мы сможем найти . Затем, полагая в уравнении , мы сможем найти и т.д. Следовательно, все значения могут быть вычислены последовательно. Поэтому уравнение (1.4) называют еще рекуррентным уравнением. Мы пойдем по другому пути – получим для общую формулу. Проще всего это сделать при помощи z – преобразования.

    Обозначим преобразование Лорана решения уравнения (1.4), а - преобразование Лорана последовательности . Из теоремы опережения следует

    .

    Поэтому разностное уравнение (1.4) после z – преобразования переходит в изображающее уравнение

    .

    Из полученного уравнения находим

    .

    Оригинал , соответствующий полученному изображению , будет удовлетворять уравнению (1.4) и заданным начальным условиям. Сам оригинал можно искать в виде

    ,

    где сумма распространяется на все особые точки функции .

    Пример. Найти решение уравнение

    ,

    удовлетворяющее начальным условиям

    .

    Решение. Используя теореме опережения и таблицу 1.1, находим изображающее уравнение

    .

    Решая его относительно , получаем

    .

    Особыми точками полученной функции являются - полюс второго порядка и - полюс первого порядка. Следовательно,

    .

    .

    Итак, решение уравнения имеет вид

    .

    Рассмотрим теперь решение систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Заметим, что последовательность – оригинал представляет собой функцию целочисленного аргумента, для которой . Такое обозначение даст возможность не использовать двойные индексы.

    Система линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде:

    (1.5)

    Начальные условия для определения решения данной системы запишем в виде: .

    Применим операционный метод к решению этой системы. Пусть

    ;

    .

    Используя теорему опережения и начальные условия, находим

    .

    Таким образом, применяя z-преобразование к системе (1.5), получаем систему линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных .

    Решив эту систему и найдя оригиналы для , получим решение систему (1.5).

    Пример. Решить систему разностных уравнений:

    Решение. Переходя к изображениям по Лорану, получаем

    Полученную систему перепишем в виде

    Решая систему по правилу Крамера, находим

    ; .

    Особыми точками полученных функций являются - полюс первого порядка и - полюс третьего порядка. Поэтому

    .

    Заметим, что линейное разностное уравнение можно свести к системе линейных разностных уравнений. Действительно, пусть дано уравнение (1.4). Обозначим

    .

    Очевидно, что

    .

    Из уравнения (1.4) следует, что

    .

    Мы, таким образом, приходим к системе

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.