Метод Ньютона. Предположим, что функция снова удовлетворяет таким же условиям, как и в методе хорд

Предположим, что функция снова удовлетворяет таким же условиям, как и в методе хорд. Проведем касательную к графику функции в точке . Абсцисса точки ее пересечения с осью и считается первым приближением корня уравнения (7). Уравнение касательной имеет вид:

.

Рис. 2. Решение уравнения по методу Ньютона

Обозначим его правую часть через . Решение уравнения имеет вид . По предположению, функция строго возрастает и выпукла на , следовательно, . Таким образом, . Так как , то . К отрезку применяем аналогичные рассуждения. Имеем . Проводим касательную через точку и находим точку пересечения этой касательной с осью . Продолжая описанный процесс, получим последовательность такую, что

. (3.6)

Эта последовательность монотонна и ограничена снизу, поэтому существует предел . Переходя к пределу в равенстве (3.6), получим .

Дадим еще оценку скорости сходимости метода Ньютона. Пусть для рассматриваемой функции на рассматриваемом интервале выполняются неравенства

.

Разложим функцию в окрестности точки поформуле Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа

,

где . Если то, подставляя в написанную формулу, получим

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

.

Отсюда

,

или, в силу формулы (12), получим

.

Следовательно,

,

откуда

.

Применяя последовательно это неравенство, будем иметь

Если выбрать первоначальное приближение так, чтобы , то получим

.

Таким образом, скорость сходимости приближенных решений к корню значительно превышает скорость убывания геометрической прогрессии со знаменателем по абсолютной величине, меньшим единицы.

5. Выполнение первой части лабораторной работы по теме «Численные методы решения нелинейных уравнений и систем»

Вторая лабораторная работа посвящена численным методам решения нелинейных алгебраических уравнений и систем уравнений. Работа состоит из двух частей. В первой части студент одним из предлагаемых ему методов находит приближенное значение корня нелинейного уравнения с использованием среды MathCad.

Пусть дано уравнение . Требуется найти приближенное значение корня на отрезке методом дихотомии с точностью . Заметим, что функция непрерывна на указанном отрезке и строго возрастает на нем. Так как , то на отрезке данное уравнение имеет единственный корень. Пример поиска корня уравнения методом дихотомии иллюстрируется листингом 3.1.

Найдем теперь корень данного уравнения методом хорд. Для этого заметим, что функция дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке . Кроме того, на этом отрезке выполняются неравенства . Поэтому последовательность, сходящаяся к корню имеет вид:

.

Так как на отрезке выполняется неравенство , то приближенным значением корня будет элемент последовательности , для которого выполняется неравенство . Пример поиска корня уравнения методом хорд иллюстрируется листингом 3.2.

Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Попробуйте сервис онлайн-записи VisitTime на основе вашего собственного Telegram-бота:
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.

Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Зарегистрироваться в сервисе

Листинг 3.1. Поиск корня уравнения методом дихотомии

Листинг 3.2. Поиск корня уравнения методом хорд

Рассмотрим теперь решение уравнения методом итераций. Для этого перепишем его в виде и заметим, что функция на отрезке удовлетворяет следующим условиям:

· ,

· для любого выполняется ,

· .

Следовательно, последовательность сходится к корню уравнения и имеет место неравенство

.

Пример поиска корня уравнения методом итераций иллюстрируется листингом 3.3.

Листинг 3.3. Поиск корня уравнения методом итераций.