Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Характеристики
некоторых типовых сигналов (функций)
В спектральном анализе и синтезе сигналов, при исследовании процессов передачи и преобразования сигналов в радиотехнических цепях и системах и в других областях теории цепей и сигналов широко используются типовые сигналы или функции. К ним относятся: – дельта-функция (δ -функция) или функция Дирака δ (t – t 0), рисунок 13, а; – единичный сигнал включения (единичный скачок) или единичная функция, ступенчатая функция 1 (t – t 0), рисунок 13, б; – единичный радиосигнал включения 1 (t – t 0) cos(ω (t – t 0)), (рисунок 13, в).
Рисунок 13
Дельта–функция (δ -функция) Дельта-функцией δ (t – t 0) называют такую функцию, которая равна бесконечности при нулевом аргументе, т. е. в точке t = t 0, и равна нулю при остальных значениях ее аргумента, причем интеграл от нее на сколь угодно малом отрезке, включающем особую точку t 0, равен единице (см. рисунок 13, а): ∞ при t = t 0 δ (t – t 0) = 0 при t ≠ t 0, при любом ε > 0. Наиболее часто δ -функцию определяют как четную функцию и тогда при ε > 0 1/2. Согласно приведенному определению δ -функция может рассматриваться как предел единичного (по площади) импульса δ a (t – t 0) любой формы при а → 0: δ (t – t 0) = , где а – параметр, с уменьшением которого (а → 0) длительность единичного импульса стремится к нулю, а высота импульса обращается в бесконечность, так как его площадь остается неизменной и равной единице:
В качестве единичного импульса может выступать прямоугольный импульс высотой 1/θ, длительностью θ (a = θ) (рисунок 14, а): 1/ θ при t 0 – θ /2 < t < t 0 + θ /2, 0 при других t,
а также гауссов (колокольный) импульс (рисунок 14, б): .
Действительно, площадь единичного прямоугольного импульса будет , гауссова импульса –
Рисунок 14
Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Пусть имеется функция f (t), непрерывная в точке t 0. Составим произведение f (t)δ (t – t 0) и запишем интеграл от полученной функции на отрезке, включающем особую точку t 0 (рисунок 15, а):
Заменяя δ (t – t 0) = , получим (рисунок 15, б):
При участок интегрирования становится сколь угодно малым и функция f (t) на этом участке принимает постоянное значение f (t 0), которое можно вынести за знак интеграла, а оставшийся интеграл от единичного импульса на отрезке, равном длительности этого импульса, равен 1. Отсюда имеем (рисунок 15, в):
Рисунок 15
Пределы интегрирования здесь могут быть расширены до – ∞ (нижний) и + ∞ (верхний). Фильтрующие свойства δ -функции широко используются в решении самых различных задач. Например, используя это свойство, легко показать получение последовательности дискретных отсчетов (решетчатой функции) по заданной аналоговой функции x (t). Составляется (рисунок 16, а) произведение x (t) · и от полученного результата берется интеграл, результат которого показан на рисунке 16, б:
Рисунок 16
С учетом фильтрующего свойства δ -функции находим = dt = . (33)
причем интеграл от sinω t равен нулю. В результате имеем: δ (t) = . (34) Используя взаимную заменяемость ω и t, запишем: δ (ω) = (35)
или
= 2π δ (ω). (36) Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье (спектральную функцию) постоянной величины А = 1, а при А ≠ 1 = 2π Aδ (ω). (37) Если правую часть дополнить слагаемым = 0 и воспользоваться формулой Эйлера, то получим преобразование Фурье постоянной величины, равной единице: δ (ω) = . (38)
Используя приведенные свойства δ -функции, найдем спектральную функцию гармонического сигнала x (t) = Xm cosω 0 t. Преобразование Фурье x (t):
= = + . Откуда согласно выражению (38) имеем
(ω) = Xm π δ (ω – ω 0) + Xm π δ (ω + ω 0). (39)
Рисунок 18
удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее время, играет важную роль в современной математике, физике, механике и других областях.
|