Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Характеристики






некоторых типовых сигналов (функций)

 

В спектральном анализе и синтезе сигналов, при исследовании процессов передачи и преобразования сигналов в радиотехнических цепях и системах и в других областях теории цепей и сигналов широко используются типовые сигналы или функции. К ним относятся:

– дельта-функция (δ -функция) или функция Дирака δ (tt 0), рисунок 13, а;

– единичный сигнал включения (единичный скачок) или единичная функция, ступенчатая функция 1 (tt 0), рисунок 13, б;

– единичный радиосигнал включения 1 (tt 0) cos(ω (tt 0)),

(рисунок 13, в).

 
 

 


в

Рисунок 13

 

Дельта–функция (δ -функция)

Дельта-функцией δ (tt 0) называют такую функцию, которая равна бесконечности при нулевом аргументе, т. е. в точке t = t 0, и равна нулю при остальных значениях ее аргумента, причем интеграл от нее на сколь угодно малом отрезке, включающем особую точку t 0, равен единице (см. рисунок 13, а):

∞ при t = t 0

δ (tt 0) =

0 при tt 0,

при любом ε > 0.

Наиболее часто δ -функцию определяют как четную функцию и тогда при ε > 0

1/2.

Согласно приведенному определению δ -функция может рассматриваться как предел единичного (по площади) импульса

δ a (tt 0) любой формы при а → 0:

δ (tt 0) = ,

где а – параметр, с уменьшением которого (а → 0) длительность единичного импульса стремится к нулю, а высота импульса обращается в бесконечность, так как его площадь остается неизменной и равной единице:

В качестве единичного импульса может выступать прямоугольный импульс высотой 1/θ, длительностью θ (a = θ) (рисунок 14, а):

1/ θ при t 0 – θ /2 < t < t 0 + θ /2,

0 при других t,

 

а также гауссов (колокольный) импульс (рисунок 14, б):

.

 

Действительно, площадь единичного прямоугольного импульса будет

,

гауссова импульса –

 

       
   
 

 

 


Рисунок 14

 

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Пусть имеется функция f (t), непрерывная в точке t 0. Составим произведение f (t)δ (tt 0) и запишем интеграл от полученной функции на отрезке, включающем особую точку t 0 (рисунок 15, а):

t 0 + ε
t 0 – ε  
, ε > 0.

 

Заменяя δ (tt 0) = , получим (рисунок 15, б):

 
 
t 0 + ε  


t 0 – ε  
=

 

При участок интегрирования становится сколь угодно малым и функция f (t) на этом участке принимает постоянное значение f (t 0), которое можно вынести за знак интеграла, а оставшийся интеграл от единичного импульса на отрезке, равном длительности этого импульса, равен 1. Отсюда имеем (рисунок 15, в):

t 0 +  
t 0 + ε

t 0  
t 0 – ε  
(31)

 

 
 

 


 

Рисунок 15

 

Пределы интегрирования здесь могут быть расширены до – ∞ (нижний) и + ∞ (верхний). Фильтрующие свойства δ -функции широко используются в решении самых различных задач. Например, используя это свойство, легко показать получение последовательности дискретных отсчетов (решетчатой функции) по заданной аналоговой функции x (t). Составляется (рисунок 16, а) произведение x (t) · и от полученного результата берется интеграл, результат которого показан на рисунке 16, б:


n = – ∞  
∞  
n = – ∞  
– ∞
∞  
∞  
n = – ∞  
∞  
(32)

       
 
   
 

 


 

Рисунок 16

 

С учетом фильтрующего свойства δ -функции находим

= dt = . (33)

Для несмещенной δ -функции = 1, = 0. Обратное преобразование Фурье функции : δ (t) = = . Полученный интеграл распадается на два, причем интеграл от sinω t равен нулю.  
Отсюда модуль спектральной функции =1, а ее аргумент (рисунок 17).

       
 
 
   
Рисунок 17

 

 


причем интеграл от sinω t равен нулю. В результате имеем:

δ (t) = . (34)

Используя взаимную заменяемость ω и t, запишем:

δ (ω) = (35)

 

или

 

= 2π δ (ω). (36)

Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье (спектральную функцию) постоянной величины А = 1, а при А ≠ 1

= 2π Aδ (ω). (37)

Если правую часть дополнить слагаемым = 0 и воспользоваться формулой Эйлера, то получим преобразование Фурье постоянной величины, равной единице:

δ (ω) = . (38)

 

Используя приведенные свойства δ -функции, найдем спектральную функцию гармонического сигнала x (t) = Xm cosω 0 t.

Преобразование Фурье x (t):

 

=

= + .

Откуда согласно выражению (38) имеем

 

(ω) = Xm π δ (ω – ω 0) + Xm π δ (ω + ω 0). (39)

 

Дельта-функция Дирака является примером специальных, обобщенных функций, которые не являются функциями в обычном понимании. Как было показано, формальное применение δ (t) приводит к удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее  
S δ (ω)
Спектральная функция гармонического колебания представлена суммой двух δ -функций с масштабным множителем π Xm, одна из которых смещена на +ω 0, а другая – на –ω 0 (рисунок 18).

 
 

 


Рисунок 18

 

удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее время, играет важную роль в современной математике, физике, механике и других областях.

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.