Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Как продвинуть сайт на первые места?
    Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.
    Ускорение продвижения
    Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.
    Начать продвижение сайта
  • Характеристики






    некоторых типовых сигналов (функций)

     

    В спектральном анализе и синтезе сигналов, при исследовании процессов передачи и преобразования сигналов в радиотехнических цепях и системах и в других областях теории цепей и сигналов широко используются типовые сигналы или функции. К ним относятся:

    – дельта-функция (δ -функция) или функция Дирака δ (tt 0), рисунок 13, а;

    – единичный сигнал включения (единичный скачок) или единичная функция, ступенчатая функция 1 (tt 0), рисунок 13, б;

    – единичный радиосигнал включения 1 (tt 0) cos(ω (tt 0)),

    (рисунок 13, в).

     
     

     


    в

    Рисунок 13

     

    Дельта–функция (δ -функция)

    Дельта-функцией δ (tt 0) называют такую функцию, которая равна бесконечности при нулевом аргументе, т. е. в точке t = t 0, и равна нулю при остальных значениях ее аргумента, причем интеграл от нее на сколь угодно малом отрезке, включающем особую точку t 0, равен единице (см. рисунок 13, а):

    ∞ при t = t 0

    δ (tt 0) =

    0 при tt 0,

    при любом ε > 0.

    Наиболее часто δ -функцию определяют как четную функцию и тогда при ε > 0

    1/2.

    Согласно приведенному определению δ -функция может рассматриваться как предел единичного (по площади) импульса

    δ a (tt 0) любой формы при а → 0:

    δ (tt 0) = ,

    где а – параметр, с уменьшением которого (а → 0) длительность единичного импульса стремится к нулю, а высота импульса обращается в бесконечность, так как его площадь остается неизменной и равной единице:

    В качестве единичного импульса может выступать прямоугольный импульс высотой 1/θ, длительностью θ (a = θ) (рисунок 14, а):

    1/ θ при t 0 – θ /2 < t < t 0 + θ /2,

    0 при других t,

     

    а также гауссов (колокольный) импульс (рисунок 14, б):

    .

     

    Действительно, площадь единичного прямоугольного импульса будет

    ,

    гауссова импульса –

     

           
       
     

     

     


    Рисунок 14

     

    Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Пусть имеется функция f (t), непрерывная в точке t 0. Составим произведение f (t)δ (tt 0) и запишем интеграл от полученной функции на отрезке, включающем особую точку t 0 (рисунок 15, а):

    t 0 + ε
    t 0 – ε  
    , ε > 0.

     

    Заменяя δ (tt 0) = , получим (рисунок 15, б):

     
     
    t 0 + ε  


    t 0 – ε  
    =

     

    При участок интегрирования становится сколь угодно малым и функция f (t) на этом участке принимает постоянное значение f (t 0), которое можно вынести за знак интеграла, а оставшийся интеграл от единичного импульса на отрезке, равном длительности этого импульса, равен 1. Отсюда имеем (рисунок 15, в):

    t 0 +  
    t 0 + ε

    t 0  
    t 0 – ε  
    (31)

     

     
     

     


     

    Рисунок 15

     

    Пределы интегрирования здесь могут быть расширены до – ∞ (нижний) и + ∞ (верхний). Фильтрующие свойства δ -функции широко используются в решении самых различных задач. Например, используя это свойство, легко показать получение последовательности дискретных отсчетов (решетчатой функции) по заданной аналоговой функции x (t). Составляется (рисунок 16, а) произведение x (t) · и от полученного результата берется интеграл, результат которого показан на рисунке 16, б:


    n = – ∞  
    ∞  
    n = – ∞  
    – ∞
    ∞  
    ∞  
    n = – ∞  
    ∞  
    (32)

           
     
       
     

     


     

    Рисунок 16

     

    С учетом фильтрующего свойства δ -функции находим

    = dt = . (33)

    Для несмещенной δ -функции = 1, = 0. Обратное преобразование Фурье функции : δ (t) = = . Полученный интеграл распадается на два, причем интеграл от sinω t равен нулю.  
    Отсюда модуль спектральной функции =1, а ее аргумент (рисунок 17).

           
     
     
       
    Рисунок 17

     

     


    причем интеграл от sinω t равен нулю. В результате имеем:

    δ (t) = . (34)

    Используя взаимную заменяемость ω и t, запишем:

    δ (ω) = (35)

     

    или

     

    = 2π δ (ω). (36)

    Этот интеграл можно рассматривать как преобразование Фурье (спектральную функцию) постоянной величины А = 1, а при А ≠ 1

    = 2π Aδ (ω). (37)

    Если правую часть дополнить слагаемым = 0 и воспользоваться формулой Эйлера, то получим преобразование Фурье постоянной величины, равной единице:

    δ (ω) = . (38)

     

    Используя приведенные свойства δ -функции, найдем спектральную функцию гармонического сигнала x (t) = Xm cosω 0 t.

    Преобразование Фурье x (t):

     

    =

    = + .

    Откуда согласно выражению (38) имеем

     

    (ω) = Xm π δ (ω – ω 0) + Xm π δ (ω + ω 0). (39)

     

    Дельта-функция Дирака является примером специальных, обобщенных функций, которые не являются функциями в обычном понимании. Как было показано, формальное применение δ (t) приводит к удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее  
    S δ (ω)
    Спектральная функция гармонического колебания представлена суммой двух δ -функций с масштабным множителем π Xm, одна из которых смещена на +ω 0, а другая – на –ω 0 (рисунок 18).

     
     

     


    Рисунок 18

     

    удобным математическим операциям. Теория обобщенных функций, получившая широкое развитие в настоящее время, играет важную роль в современной математике, физике, механике и других областях.

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.