Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема об интегрировании сигнала
Интегрирование сигнала с ограниченной площадью при вычислении преобразования Фурье соответствует умножению его спектральной функции на 1/ j ω, а для сигнала , полученного путем n -кратного интегрирования, но при условии, что все n – 1 интегралов в пределах – ∞ < t < ∞ равны нулю, соответствует . (16)
Теоремы о спектре производной и интеграла широко используются при нахождении спектральных функций сигналов, если дифференцирование (или интегрирование) приводит к типовым функциям времени. Пример. Задан импульс напряжения треугольной формы (рисунок 6, а). Требуется найти его спектральную функцию и представить графически. Для сравнения на том же рисунке показан прямоугольный импульс . Найдем производную треугольного импульса u ′ (t). Она представляет собой пару биполярных прямоугольных импульсов высотой 2 U / t и, длительностью 0, 5 t и, смещенных из начала координат влево и вправо на 0, 25 t и (рисунок 6, б):
.
Исходя из выражения спектральной функции симметрично расположенного прямоугольного импульса высотой U, длительностью t и, , а также на основании теоремы о сдвиге запишем спектральную функцию производной u ′ (t):
, где . Так как исходная функция u (t) есть интеграл от u ′ (t), то для получения спектральной функции исходного сигнала u (t) достаточно разделить на j ω: . График этой функции показан на рисунке 7 сплошной линией. Здесь же для сравнения представлен пунктиром график модуля спектральной функции прямоугольного импульса .
Теорема о спектре свертки
Сверткой двух функций x 1(t), x 2(t) называется интеграл вида: . (17) Такая математическая операция может выполняться с функциями любого аргумента. Ее геометрическая интерпретация представлена на рисунке 8.
Рисунок 7
Рисунок 6
Преобразование Фурье свертки двух функций времени x 1(t) и x 2(t) с известными преобразованиями Фурье , будет
. (18)
Спектральная функция свертки двух функций времени x 1(t) и x 2(t) равна произведению их спектральных функций и .
|