Периодических и одиночных сигналов

Минский государственный

Высший авиационный колледж

Радиотехнические

Цепи и сигналы

Методические рекомендации

по выполнению контрольной работы

Минск

УДК 621.37

ББК 32.841

Р 15

Составитель

С. В. КРЕСКИЯН

Рецензент

Л. И. ЛАЗОВСКИЙ

заместитель декана по заочному обучению

факультета гражданской авиации МГВАК

Одобрено и рекомендовано к изданию

Научно-методическим советом МГВАК

(протокол от 21 декабря 2012 года № 3)

Р 15 Радиотехнические цепи и сигналы: методические рекомендации по выполнению

контрольной работы / сост. С. В. Крескиян. – Минск: МГВАК, 2013. – 64 с.

Данное издание определяет содержание, объем и порядок выполнения контрольной работы, предусмотренной учебной программой дисциплины " Радиотехнические цепи и сигналы" для курсантов заочной формы обучения.

МГВАК, 2013

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В результате выполнения настоящей работы курсант должен:

· Изучить основные методы анализа спектральных характеристик

детерминированных сигналов.

· Приобрести навыки расчета и анализа спектральных

характеристик и параметров детерминированных сигналов: амплитудно-частотных, фазочастотных (АЧС, ФЧС) и энергетических спектров.

· Приобрести навыки выполнения инженерных расчетов по

определению частотных характеристик сигналов и цепей с помощью ЭВМ.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Расчет и построение спектров

периодических и одиночных сигналов

Математически сигналы представляют собой функции одной или нескольких независимых переменных. Обычно одной из независимых переменных является время. Независимая переменная может быть как непрерывной, так и дискретной. Соответственно различают сигналы в непрерывном времени (их называют непрерывными или аналоговыми сигналами) и сигналы в дискретном времени, т. е. сигналы, которые определены в дискретные моменты времени. Их называют дискретными сигналами (в контрольной работе следует проанализировать те и другие сигналы).

Математический аппарат анализа и синтеза, передачи и обработки сигналов основан на разложении сигналов по типовым или базисным функциям времени. Наибольшее распространение получило разложение сигналов по ортогональным базисным системам функций. Существует большое число ортогональных систем базисных функций. В качестве базисных функций могут использоваться тригонометрические функции (для периодических сигналов – тригонометрические функции кратных аргументов), полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра, Хаара, Уолша и другие. Выражение сигнала бесконечным рядом ортогональных составляющих математически представляет собой обобщенный ряд Фурье:

, (1)

где – ортогональная составляющая сигнала;

C_n – коэффициент разложения.

Применение тригонометрических функций в качестве ортогональных составляющих представляет основу гармонического или спектрального анализа и синтеза сигналов. Периодический сигнал х (t) с периодом T может быть представлен рядом Фурье по системе тригонометрических функций кратных аргументов:

, (2)

или

, (3)

где , T – период сигнала x (t);

C_km – амплитуда;

– начальная фаза k -й составляющей.

. (4)

при ,

где – спектральная функция, определяемая сигналом на периоде x ₀(t).

Начальная фаза

Совокупность амплитуд, начальных фаз и частот гармонических составляющих называют соответственно амплитудно-частотным спектром и фазочастотным спектром сигнала (рисунки 1, 2).

На рисунках 1, а и 2, а показаны АЧС и ФЧС периодического сигнала с разложением сигнала в области положительных частот –действительный ряд Фурье (3), а на рисунках 1, б и 2, б показаны АЧС и ФЧС с разложением в области частот –∞ < ω < ∞ –комплексный ряд Фурье (7).

Спектры периодических сигналов являются дискретными, непериодических (одиночных) сигналов – сплошными. Они описываются спектральной функцией , которая определяется по заданному сигналу x ₀(t) с помощью преобразования Фурье (прямого):

. (5)

Функция называется преобразованием Фурье функции x ₀(t). Однозначно с формулой (5) связано обратное преобразование Фурье (интеграл Фурье), позволяющее по спектральной функции найти сигнал

. (6)

		C –3 m
		C –5 m
		C–km
		б

Рисунок 1

Функция x ₀(t) называется обратным преобразованием Фурье функции .

Рисунок 2

Для одиночных сигналов интеграл Фурье (5) играет роль, подобную той, которая для периодических сигналов представляет тригонометрический ряд Фурье в действительной форме (3) или в

комплексной:

. (7)

C некоторыми допущениями обратное преобразование Фурье (6) можно рассматривать как сумму бесконечного числа гармонических составляющих с частотой ω и сколько угодно малыми амплитудами . Поэтому для непериодических сигналов в качестве амплитудно-частотного спектра рассматривается не совокупность амплитуд составляющих, а закон распределения плотности амплитуд:

.

Плотность амплитуд – это модуль спектральной функции. Она является конечной величиной. Зависимость аргумента спектральной функции от частоты представляет собой фазочастотный спектр одиночного сигнала.

Если сигнал представляет собой ток, то модуль спектральной функции (плотность амплитуд) сигнала измеряется в А/Гц, а если сигнал представляет собой напряжение, то в В/Гц.

В контрольной работе рекомендуется синтезировать периодический сигнал по заданному одиночному сигналу. Поэтому прежде следует определить все частотные функции и характеристики непериодического (одиночного) сигнала x ₀(t), а затем перейти к анализу синтезированного периодического сигнала:

. (8)

В этом случае спектральной функцией периодического процесса на периоде будет спектральная функция для одиночного сигнала, т. е. .

Разложение периодического сигнала x (t) на гармонические составляющие и определение его АЧС и ФЧС производятся по формулам (3), (4) и (7).

Чтобы представить графически АЧС периодического сигнала, достаточно построить график зависимости модуля спектральной функции по сигналу на периоде , указать по оси частот точки k Ω и выбрать в них дискретные значения . Изменить масштаб по оси ординат в 2 F раз. В результате будут получены ординаты , которые являются амплитудами составляющих. Модуль спектральной функции по сигналу на периоде выступает в качестве огибающей АЧС. Компоненты ФЧС представляют собой дискретные значения аргумента спектральной функции на частотах k Ω. Функция является огибающей ФЧС периодического сигнала (см. рисунок 2).

Энергетический спектр периодического сигнала подобно его АЧС является дискретным и представляет собой совокупность энергий и частот гармонических составляющих. Энергия вычисляется за определенный временной интервал, чаще за период T сигнала x (t). При разложении сигнала во всей области частот –∞ < ω < ∞ полная энергия периодического сигнала за период Т составляет

(9)

или при разложении сигнала в области частот 0 ≤ ω < ∞

. (10)

Коэффициент пропорциональности γ измеряется в омах, если процесс x (t) = i (t) – ток, либо в сименсах, если x (t) = u (t) –напряжение. При построении энергетических спектров можно принять γ = 1 Ом или γ = 1 См в зависимости от того, каким физическим явлением представлен сигнал x (t), либо рассматривать при γ = 1 Ом (1 См) нормированную величину

. (11)

Она представляет собой разложение не энергии, а величины, численно равной энергии, отнесенной к нагрузке 1 Ом.

Для непериодических сигналов энергетической характеристикой является спектральная плотность энергии, выражаемая функцией

.

Спектральная плотность энергии представляет собой зависимость от частоты величины, численно равной энергии сигнала, заключенной в полосе частот в 1 Гц и отнесенной к нагрузке в 1 Ом (1 См).

Функция и ее графические представления рассматриваются как энергетические спектры непериодических сигналов. Полная же энергия непериодического сигнала согласно теореме Релея (равенству Парсеваля) определяется путем интегрирования функции (сигнала) x ²(t) во времени или интегрирования функции по частоте:

. (12)

Для графического представления энергетического спектра непериодического сигнала достаточно возвести в квадрат его АЧС, либо найти (аналитически) квадрат модуля спектральной функции и построить его график.

Для построения энергетических спектров периодических сигналов можно воспользоваться разложениями (9) – (11). Согласно этим результатам прежде следует построить график квадрата модуля спектральной функции, найденной по сигналу на периоде . Затем по оси частот указать точки, кратные частоте повторения k Ω, и выбрать в них дискретные значения . Умножить отсчеты на частоту повторения F.