💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Если то рациональная дробь называется неправильной, при n< m, дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить (делением числителя на знаменатель “уголком”) в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби

Интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных дробей. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа простейших дробей.

1. , целое). 3.

(, целое, ).приравнивая числители получившихся дробей, приходим к равенству двух многочленов

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений для определения A, B, C, D, E.:

при ;

при ;

при ;

при .

Решив эту систему, найдем коффициенты

Разложение рассматриваемой дроби имеет вид:

.

Интегрирование простейших дробей.

1. .

2. .

3.

4.

где

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Используя предыдущее разложение, будем иметь