Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Основная задача интегрального исчисления заключается в следующем: для функции f (x) найти функцию F (x) такую, что F’ (x)= f (x).Будем предполагать, что это равенство выполняется на некотором конечном или бесконечном промежутке. Искомая функция F (x)называется при этомпервообразной функции f (x) на указанном промежутке. Первообразная функции определяется не единственным образом, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Если F (x) – первообразная функции f (x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f (x) на том же промежутке может быть представлена в виде F (x)+ C, где C – некоторая постоянная.

Согласно предыдущей теореме множество всех первообразных функции f (x) исчерпывается множеством функций F (x)+ C, где F (x) – одна из первообразных функции f (x), а C – некоторые произвольные постоянные.

Определение. Множество всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается

При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

где F (x) – одна из первообразных функции f (x), а C – некоторая произвольная постоянная.

Восстановление функции по ее производной, или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Непосредственно из определения неопределенного интеграла вытекают следующие его свойства.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, то есть

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, то есть если k= const ¹ 0, то

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть

Таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования.

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. Справедливость остальных формул легко проверить дифференцированием.

1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

2. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция x=j (t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f (x). Тогда, если на множестве Х функция f (x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

3. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u (x) и v (x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’ (x) v (x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u (x) v’ (x) также имеет первообразную и справедлива формула

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. В качестве функции u (x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.