Приложения определенного интеграла.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

В декартовой системе координат за основную фигуру, площадь которой выражается определенным интегралом, принимается криволинейная трапеция. Если y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию, то площадь трапеции S (в предположении, что y³ 0) равна S=

, где пределы интегрирования a и b(a< b) - абсциссы начала и конца линии.

Если линия задана параметрическими уравнениями x=j(t), y=y(t), то совершая подстановку в интеграле по формуле x=j(t), получим

, где t₁ и t₂- значения, между которыми изменяется параметр t, когда точка пробегает слева направо всю линию, ограничивающую трапецию сверху.

Пример. Найти площадь S фигуры, ограниченной эллипсом

Имеем S=2

, y³ 0. Удобно перейти к параметрическому виду: x=a cos t, y=b sin t. Тогда

Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор - фигура, ограниченная линией r=f(j), с которой любой луч, исходящий из полюса P, пересекается не более, чем в одной точке, и двумя лучами j=a и j=b:

В результате вывода получается формула для вычисления площади фигуры, заключенной между лучами j=a и j=b:

Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, пусть известна площадь любого его сечения, проведенного плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой, например к оси абсцисс:

При этом можно считать, что площадь такого сечения является известной нам функцией S(x), где x – абсцисса точки пересечения указанной плоскости с осью х. Далее предполагается, что все тело заключено между двумя перпендикулярными к оси х плоскостями, пересекающими ее в точках a и b (a< b). Для определения объема такого тела разобьем его на слои с помощью секущих плоскостей, перпендикулярных к оси х и пересекающих ее в точках x₀=a, x₂, …, x_n=b. Каждый слой заменим цилиндром с той же высотой и основанием, равным S(x). Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Объем вычисляют как предел при n®¥ суммы объемов, образующих ступенчатое тело и получаем

Если тело получено вращением криволинейной трапеции, ограниченной линией y=f(x), вокруг оси Ох, то поперечным сечением с абсциссой х служит круг, радиус которого равен соответствующей ординате линии y=f(x)

Получена формула объема тела, полученного вращением линии y=f(x) вокруг оси Ох. Аналогично получается формула объема тела, полученного вращением трапеции вокруг оси Оу. Там возможны две формулы:

Длина дуги AB кривой y=f(x) есть предел длины вписанной в нее ломаной при неограниченном увеличении числа ее сторон и при стремлении наибольшей из этих сторон к нулю:

Линия AB задана уравнением y=f(x). Длина дуги AB вычисляется по формуле

Если dx внести под знак корня, то формулу можно переписать в виде

Если уравнение линии задано параметрически: x=x(t), y=y(t) и t_1,t₂– значение параметра t, соответствующие концам дуги, причем t₁< t₂, то

Пусть теперь линия задана уравнением в системе полярных координат: r=r(j). Рассматривая в зависимостях x=rcosj, y=rsinj полярный угол j в качестве параметра, получим

где a и b - значения полярного угла соответственно начала А и конца В дуги.

Тело получено вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху линией y=f(x), прямыми x=a и y=b, осью Ох. Площадь поверхности вращения для данного тела определяется по формуле