💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Упражнения. 1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите

1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите, что линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда для него существует ортонормированный базис из собственных векторов.

2) Линейный оператор U унитарного пространства называется унитарным, если Докажите, что нормальный оператор унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.

3) Линейный оператор Н унитарного пространства называется эрмитовым, если . Линейный оператор K унитарного пространства называется косоэрмитовым, если . Докажите, что нормальный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда все его собственные значения действительны.

4) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется неотрицательным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор неотрицательный тогда и только, когда все собственные значения этого оператора неотрицательны.

5) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор положительно определен тогда и только, когда все собственные значения этого оператора положительны.

6) Докажите, что для любого линейного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует эрмитово разложение

, где Н ₁ и Н ₂ – эрмитовы операторы, .

7) Докажите, что если А – нормальный оператор, то нормальны также линейные операторы для любой константы , для любого натурального k, f(A) для любого многочлена f(t), для невырожденного оператора А, .

8) Для любого линейного оператора А унитарного пространства существует полярное разложение в виде произведения неотрицательного и унитарного операторов. Докажите это.

9) Докажите, что ядро нормального оператора является ортогональным дополнением к его образу.

10) Докажите, что инвариантное подпространство нормального оператора инвариантно и относительно .