Упражнения. 1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите

1) Линейный оператор А унитарного (комплексного евклидового) пространства называется нормальным, если Докажите, что линейный оператор нормален тогда и только тогда, когда для него существует ортонормированный базис из собственных векторов.

2) Линейный оператор U унитарного пространства называется унитарным, если Докажите, что нормальный оператор унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.

3) Линейный оператор Н унитарного пространства называется эрмитовым, если . Линейный оператор K унитарного пространства называется косоэрмитовым, если . Докажите, что нормальный оператор эрмитов тогда и только тогда, когда все его собственные значения действительны.

4) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется неотрицательным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор неотрицательный тогда и только, когда все собственные значения этого оператора неотрицательны.

5) Эрмитов оператор H унитарного пространства называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора х. Докажите, что эрмитов оператор положительно определен тогда и только, когда все собственные значения этого оператора положительны.

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение

6) Докажите, что для любого линейного оператора, действующего в унитарном пространстве, существует эрмитово разложение

, где Н ₁ и Н ₂ – эрмитовы операторы, .

7) Докажите, что если А – нормальный оператор, то нормальны также линейные операторы для любой константы , для любого натурального k, f(A) для любого многочлена f(t), для невырожденного оператора А, .

8) Для любого линейного оператора А унитарного пространства существует полярное разложение в виде произведения неотрицательного и унитарного операторов. Докажите это.

9) Докажите, что ядро нормального оператора является ортогональным дополнением к его образу.

10) Докажите, что инвариантное подпространство нормального оператора инвариантно и относительно .