Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Доказательство. Умножая обе части матричного равенства на матрицу ХТ слева, в правой части получим f
АХ = . Умножая обе части матричного равенства на матрицу ХТ слева, в правой части получим f. ■
Формулы называются линейным преобразованием неизвестных с матрицей . Обозначая через Х столбец из неизвестных , а через Y – столбец из неизвестных , запишем линейное преобразование в виде матричного равенства X = QY. Последовательное выполнение линейных преобразований с матрицами Q и R есть линейное преобразование неизвестных с матрицей QR, Если матрица линейного преобразования неизвестных невырожденная, то линейное преобразование называется невырожденным. Для невырожденной матрицы существует обратная, поэтому невырожденное линейное преобразование обратимо: Y = Q-1X. Так как произведение невырожденных матриц – невырожденная матрица, то последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований есть невырожденное линейное преобразование.
Теорема. Если квадратичную форму подвергнуть линейномупреобразованию X = QY с матрицей Q, то матрица преобразованной квадратичной формы равна QTAQ. Доказательство. = . ■
Следствие. Знак определителя матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании не меняется. Доказательство. В равенстве det QTAQ =det A det 2 Q по условию det 2 Q 0, а поэтому число положительное. Следовательно, числа det QTAQ и det A одного знака.
|