Доказательство. Умножая обе части матричного равенства на матрицу ХТ слева, в правой части получим f

АХ = .

Умножая обе части матричного равенства на матрицу Х^Т слева, в правой части получим f. ■

Формулы называются линейным преобразованием неизвестных с матрицей . Обозначая через Х столбец из неизвестных , а через Y – столбец из неизвестных , запишем линейное преобразование в виде матричного равенства

X = QY.

Последовательное выполнение линейных преобразований с матрицами Q и R есть линейное преобразование неизвестных с матрицей QR, Если матрица линейного преобразования неизвестных невырожденная, то линейное преобразование называется невырожденным. Для невырожденной матрицы существует обратная, поэтому невырожденное линейное преобразование обратимо: Y = Q^-1X.

Так как произведение невырожденных матриц – невырожденная матрица, то последовательное выполнение невырожденных линейных преобразований есть невырожденное линейное преобразование.

Теорема. Если квадратичную форму подвергнуть линейномупреобразованию X = QY с матрицей Q, то матрица преобразованной квадратичной формы равна Q^TAQ.

Доказательство. = . ■

Следствие. Знак определителя матрицы квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании не меняется.

Доказательство. В равенстве det Q^TAQ =det A det ² Q по условию det ² Q 0, а поэтому число положительное. Следовательно, числа det Q^TAQ и det A одного знака.