Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?
Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже.
Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал.
Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее. ✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать». Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами! Свойства сопряжения
1) ; 2) 3) ; ; 4) 5) ; 6) если линейный оператор невырожден, то ; 7) для любого целого неотрицательного m. В силу свойства один линейные операторы и сопряжены друг другу. Свойство 3 в комплексном евклидовом пространстве приобретает вид .
Теорема. Если А – матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе, то – матрица линейного оператора в этом же базисе. Доказательство. Пусть Тогда . С другой стороны . Отсюда, aij = bji для всех i, j; 1 i, j n. ■
Если = , то линейный оператор называется самосопряженным.
Теорема. Матрица самосопряженного линейного оператора в ортонормированном базисе симметрична. Доказательство. = . ■
Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе симметрична, то линейный оператор самосопряженный. Доказательство. Дано: На базисных векторах линейный оператор ведет себя как самосопряженный. Пусть С другой стороны . Правые части равны, поэтому равны и левые части, следовательно, ( для любых векторов а и b из Е. Это означает, что – самосопряженный линейный оператор. ■
Теорема. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство. Пусть . Тогда Правые части этих равенств равны, так как линейный оператор самосопряжен, поэтому равны и левые, т.е. ввиду того, что ■
Теорема. Корни характеристического многочлена симметрической матрицы с действительными коэффициентами действительны. Доказательство. Пусть – корень характеристического многочлена матрицы А с действительными коэффициентами. Тогда существует ненулевое решение однородной системы линейных уравнений с матрицей , т.е. имеем систему равенств , где . После умножения каждого из этих равенств соответственно на получим или после суммирования всех равенств . В этом равенстве перейдем к сопряженным величинам . В силу симметричности матрицы А левые части двух последних равенств равны, поэтому равны и правые части, поэтому . ■
Теорема. Для любой симметрической матрицы A с действительными элементами найдется ортогональная матрица Q, для которой матрица Q -1 AQ диагональная. Доказательство проведем методом полной математической индукции по порядку n матрицы А. Матрицу А рассматриваем как матрицу линейного оператора в некотором ортонормированном базисе n- мерного евклидового пространств. Пусть с 1 – собственный вектор линейного оператора , принадлежащий собственному значению . Он существует, так как все характеристические корни матрицы А действительны. Считаем, что вектор с 1 нормирован и включим его в ортонормированный базис с 1, с 2, …, сn евклидова пространства. Подпространство, натянутое на векторы с 2, …, сn, инвариантно относительно и по гипотезе индукции в нем существует базис, в котором матрица линейного оператора, индуцированного линейным оператором , диагональна. Тогда матрица линейного оператора в базисе с 1, с 2, …, сn диагональна. Матрица Q перехода от первоначального базиса к базису с 1, с 2, …, сn искомая. ■
|