💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Упражнения. 1) Найдите матрицы линейных операторов + и в базисе b1, b2, если матрица в базисе а1 =(-3; 7), а2 = (1; -2) имеет вид

1) Найдите матрицы линейных операторов + и в базисе b ₁, b ₂, если матрица в базисе а ₁ =(-3; 7), а ₂ = (1; -2) имеет вид , а матрица в базисе b ₁ = (6; -7), b ₂ = (-5; 6) имеет матрицу .

2) Докажите, что линейное пространство всех линейных операторов, действующих в одномерном линейном пространстве, одномерно.

3) Линейное пространство всех функционалов, действующих в линейном пространстве Х/K, т.е. линейно отображающих X в K, называется сопряженным с пространством Х. Докажите, что сопряженное линейное пространство изоморфно линейному пространству Х.

4) Говорят, что ненулевой многочлен f(t) = аннулирует оператор А, если f(А) = . Докажите, что для любого линейного оператора, действующего в n- мерном линейном пространстве, существует аннулирующий многочлен степени .

5) Пусть m(t) – многочлен наименьшей степени среди всех многочленов, аннулирующих линейный оператор A. Докажите, что m(t) делит любой другой многочлен, аннулирующий линейный оператор A.

6) Докажите, что многочлен m(t) определен линейным оператором А единственным образом с точностью до умножения на постоянный ненулевой множитель. Многочлен m(t) со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом линейного оператора А.

7) Линейный оператор А называется нильпотентным, если существует натуральное число q, для которого A^q = . Наименьшее число q, для которого A^q = , называется индексом нильпотентности линейного оператора А. Докажите, что индекс любого нильпотентного линейного оператора, действующего в n- мерном линейном пространстве, не превосходит n.

8) Найдите минимальный многочлен для оператора проектирования, для оператора отражения, для нильпотентного оператора индекса q.

9) Докажите, что любые два многочлена от одного линейного оператора перестановочны.

10) Докажите, что если линейные операторы А и В перестановочны, то и любые многочлены f(A) и g(A) от этих операторов перестановочны.

11) Докажите, что произведение линейных операторов А и В тогда и только тогда невырождено, когда каждый из операторов А и В невырожден. При этом .

12) Докажите, что для невырожденного линейного оператора А и любой константы

.

13) Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, являются автоморфизмами, т.е. изоморфизмами Х на себя.

14) Докажите, что невырожденные линейные операторы, действующие в линейном пространстве Х/K, образуют мультипликативную группу.