💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Упражнения. 1) Докажите, что линейный оператор невырожденный тогда и только тогда, когда не имеет собственного значения нуль.

1) Докажите, что линейный оператор невырожденный тогда и только тогда, когда не имеет собственного значения нуль.

2) Докажите, что если – невырожденный линейный оператор, то и имеют одни и те же собственные векторы.

3) Пусть и , . Докажите, что х – собственный вектор и линейного оператора

4) Оператор называется нильпотентным, если в некоторой степени равен нулевому. Докажите, что нильпотентный линейный оператор не имеет отличных от нуля собственных значений.

5) Найдите собственные векторы линейного оператора дифференцирования на пространстве, натянутом на cos t и sin t.

6) Докажите, что множество всех собственных векторов линейного оператора , принадлежащих одному и тому же собственному значению, если его пополнить нулевым вектором, является подпространством линейного пространства. Оно называется собственным подпространством линейного оператора , соответствующим этому собственному значению.

7) Докажите, что сумма собственных подпространств прямая.

8) Докажите, что матрица линейного оператора в базисе диагональная тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами этого линейного оператора.

9) Докажите, что если все собственные значения линейного оператора различны и принадлежат полю K, то существует базис, в котором матрица этого линейного оператора диагональная.

10) Докажите, что и – инвариантные подпространства.

11) Найдите собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей:

А = .

Ответ. Собственные векторы, принадлежащие собственному значению = = = = 3, образуют двумерное пространство с базисом (1, 0, 0, -1) и (0, 0, 1, 0) (выбор базиса неоднозначен).