Матрица линейного оператора

Пусть – базис V/K. Каждый элемент линейного пространства можно записать в виде линейной комбинации векторов базиса

(1)

… … … … … … …

Матрица А с элементами называется матрицей линейного оператора в базисе . Соотношения (1) в матричной форме можно переписать так

(2)

где . Рассмотрим квадратные матрицы одного порядка А и В. Матрица В называется подобной матрице А, если существует невырожденная матрица С, для которой В = С^-1АС. Обозначается это так:

Свойства подобия матриц

1) А А;

2) А В В А;

3) А В, В С А С:

4) А В

5) А В

Теорема. Матрицы одного и того же линейного оператора в разных базисах подобны.

Доказательство. Пусть e = Cf, где f и e – базисы линейного пространства, A и B – матрицы линейного оператора в этих базисах, C – матрица перехода от одного базиса к другому.Тогда

■