Ядро и образ линейного оператора

Ядром линейного оператора называется множество всех элементов линейного пространства, которые линейный оператор отображает в нулевой вектор, т.е.

.

Ядро не пусто, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что ядро – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют дефектом линейного оператора.

Образом линейного оператора называется множество всех элементов у из V, для которых существует вектор х такой, что , т.е.

.

Образ не пуст, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что образ – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют рангом линейного оператора.

Теорема. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равна размерности линейного пространства.

Доказательство. Пусть – базис , a ₁, …, a_s – базис Тогда Следовательно, можно записать

По определению в линейном пространстве существуют элементы b ₁, …, b_r, для которых . Отсюда,

a ₁, …, a_s, b ₁, …, b_r – система образующих линейного пространства.

Докажем линейную независимость этих векторов. Пусть

Подействуем нашим линейным оператором на обе части равенства. Получим

Система образующих a ₁, …, a_s, b ₁, …, b_r линейно независима, т.е. образует базис линейного пространства V/ K., поэтому s + r = n. ■

Забиваем Сайты В ТОП КУВАЛДОЙ - Уникальные возможности от SeoHammer

Каждая ссылка анализируется по трем пакетам оценки: SEO, Трафик и SMM. SeoHammer делает продвижение сайта прозрачным и простым занятием. Ссылки, вечные ссылки, статьи, упоминания, пресс-релизы - используйте по максимуму потенциал SeoHammer для продвижения вашего сайта.

Что умеет делать SeoHammer

— Продвижение в один клик, интеллектуальный подбор запросов, покупка самых лучших ссылок с высокой степенью качества у лучших бирж ссылок.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.

SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.

Зарегистрироваться и Начать продвижение