💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Ядро и образ линейного оператора

Ядром линейного оператора называется множество всех элементов линейного пространства, которые линейный оператор отображает в нулевой вектор, т.е.

.

Ядро не пусто, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что ядро – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют дефектом линейного оператора.

Образом линейного оператора называется множество всех элементов у из V, для которых существует вектор х такой, что , т.е.

.

Образ не пуст, так как содержит нулевой вектор. Ясно, что образ – подпространство линейного пространства. Размерность этого подпространства называют рангом линейного оператора.

Теорема. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равна размерности линейного пространства.

Доказательство. Пусть – базис , a ₁, …, a_s – базис Тогда Следовательно, можно записать

По определению в линейном пространстве существуют элементы b ₁, …, b_r, для которых . Отсюда,

a ₁, …, a_s, b ₁, …, b_r – система образующих линейного пространства.

Докажем линейную независимость этих векторов. Пусть

Подействуем нашим линейным оператором на обе части равенства. Получим

Система образующих a ₁, …, a_s, b ₁, …, b_r линейно независима, т.е. образует базис линейного пространства V/ K., поэтому s + r = n. ■