Упражнения. Модуль 4. Линейные операторы

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы

Линейные операторы в линейном пространстве

Линейным оператором, действующим в линейном пространстве V над полем K, называется отображение

, для которого

1) , где – нулевой вектор линейного пространства V/K;

1)Нулевой линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в нулевой вектор.

2) Тождественный линейный оператор, который каждый элемент линейного пространства переводит в себя.

1) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном евклидовом пространстве геометрических векторов:

где а – фиксированный вектор,

– число, (х, а) – скалярное произведение.

2) Является ли линейным оператор, действующий в трехмерном арифметическом пространстве:

3) Докажите, что

– линейный оператор одномерного линейного пространства над полем K тогда и только тогда, когда существует элемент

из поля K, для которого

, где х – любой вектор этого линейного пространства.

4) Какие из отображений являются линейными операторами линейного пространства многочленов степени

а)

б)

в)оператор дифференцирования

г)оператор k -кратного дифференцирования

д)

е)

5) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L ₁ и L ₂. Докажите, что оператор Р проектирования линейного пространства Х на L ₁ параллельно L ₂, который каждому вектору х ₁ + х ₂из Х ставит в соответствие вектор х ₁, линейный; х ₁ х _{2 .}

6) Линейное пространство Х является прямой суммой подпространств L ₁ и L ₂. Докажите, что оператор R отражения линейного пространства Х на L ₁ параллельно L ₂, который каждому вектору х ₁ + х ₂из Х ставит в соответствие вектор х ₁ – х ₂, линейный; х ₁ х _{2 .}

7) В линейном пространстве Х над полем K фиксирован базис . Докажите, что соответствие, относящее каждому вектору Х линейного пространства его i- ю координату в этом базисе, линейное отображение из Х в K.

8) Докажите, что линейный оператор, действующий в одномерном линейном пространстве над полем K, сводится к умножению вектора пространства на фиксированный элемент поля.

9) Докажите, что линейный оператор линейно зависимую систему переводит в линейно зависимую. Верно ли аналогичное утверждение для линейно независимой системы векторов?

10) Верно ли утверждение: линейный оператор эквивалентные системы переводит в эквивалентные?