Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Постановка задачи проверки простой гипотезы о вероятностях. Применение критерия хи-квадрат к задаче проверке гипотезы о распределении полностью известном.






     

    Рассмотрим следующую задачу проверки гипотезы: пусть – выборка из неизвестного распределения и основная гипотеза заключается в том, что , где – известная функция распределения. Требуется предложить критерий проверки гипотезы .

    Воспользоваться критерием хи-квадрат для решения непосредственно поставленной задачи не возможно, тем не менее, имеется возможность сформулировать «близкую» к поставленной задачу, для решения которой использовать критерий хи-квадрат.

    Пусть некоторые числа, рассмотрим разбиение числовой оси на интервалы и полуинтервалы:

    ,

    ,

    …,

    ,

    .

    Зафиксируем некоторый номер и определим события,

    ,

    ,

    …,

    .

    Легко видеть, что события , , …, вообще говоря при всех одинаковы, поскольку все случайные величины выборки одинаковы (имеют одну и ту же функцию распределения ), и кроме того образуют полную группу событий, поскольку несовместны и их объединение есть множество всех элементарных событий. Определим вероятности , , …, событий , , …, :

    ,

    ,

    …,

    .

    Рисунок 6.3. Разбиение и вероятности.

    Из исходного наблюдения – выборки – сформируем вектор по правилу:

    ,

    ,

    то есть – случайное количество величин выборки попавших в интервал (полуинтервал) .

    В качестве основной гипотезы рассмотрим «расширенную» гипотезу :

    , , , , …, (6.7)

    Теперь для проверки «расширенной» гипотезы может быть использован критерий хи-квадрат, рассмотренный выше.

    Из (6.7) следует, что гипотеза заключается в том, что:

    Таким образом, «расширенная» гипотеза утверждает, что только для точек , а гипотеза утверждает, что для всех , поэтому и , вообще говоря, различные гипотезы. Фактически, утверждает, что истинное распределение принадлежит некоторому множеству :

    : ,

    где – множество таких функций распределения , что :

    .

    Конечно, , однако, в могут оказаться и другие функции , отличные от , поэтому гипотеза «расширенная».

    Остается вопрос о выборе точек , …, , которые определяют интервалы и события , …, : на практике количество точек выбирают так чтобы,

    ,

    при этом местоположение точек выбирают так, чтобы все гипотетические вероятности оказались приближенно равны между собой:

    .

     

    Постановка задачи проверки сложной гипотезы о вероятностях и критерий хи-квадрат. Теорема Фишера об асимптотическом распределении минимальной по параметру статистики в случае, если основная гипотеза верна. Замечание об использовании МП-оценок. Применение критерия хи-квадрат к задаче проверки гипотезы о распределении с неизвестным параметром.

     

    Пусть проводится серия из независимых испытаний, в каждом из которых может произойти в точности одно из событий , …, , имеющих неизвестные вероятности , …, . По результатам серии фиксируются количества наступлений событий , …, , так что наблюдение представляет собой вектор случайных величин , имеющий полиномиальное распределение .

    Основная гипотеза заключается в том, что неизвестные вероятности равны заданным выражениям при некотором значении параметра (в общем случае параметр является -мерным):

    : , …, .

    Требуется предложить статистический критерий проверки гипотезы .

    Заметим, что сформулированная задача, схожа с задачей, рассмотренной в пункте 2, отличие заключается в том, что гипотетические вероятности являются не числовыми значениями, а некоторыми функциями параметра . Указанное отличие не позволяет в качестве статистики критерия использовать статистику :

    ,

    поскольку статистика оказывается зависимой от параметра , теорема Пирсона (6.15) не может быть применима и как следствие предельное (при ) распределение статистики неизвестно. Более того, следует ожидать, что это распределение окажется различным при различных значениях параметра . Тем не менее, при специальном выборе параметра удается найти предельное распределение.

    Предположим, что при каждой реализации наблюдения значение параметра выбирается таким образом, чтобы минимизировать значение статистики . Минимальные значения статистики образуют новую статистику , не зависящую от параметра:

    .

    Пусть – значение параметра , при котором достигается минимальное значение статистики , тогда:

    Теорема 6.18. (Фишер)

    Пусть наблюдение имеет полиномиальное распределение и основная гипотеза заключается в том, что:

    : ,

    где -мерный параметр и – известные функции. Если гипотеза верна, тогда распределение статистики:

    ,

    стремиться при к распределению .

    Без доказательства.

    Вычисление статистики требует трудоемкой операции нахождения минимума, а для решения в общем виде требует нахождения функции доставляющей минимум статистики , что существенно затрудняет использование статистического критерия. Оказывается, сформулированная выше теорема Фишера справедлива и в том случае, когда вместо функции используется МП-оценка параметра , вычисляемая по функции правдоподобия, составленной в соответствии с тем видом функции распределения наблюдения, которую определяет гипотеза .

    Теорема 6.19. (Фишер)

    Пусть наблюдение имеет полиномиальное распределение и основная гипотеза заключается в том, что:

    : ,

    где -мерный параметр ( – множество допустимых значений параметра ), и функции таковы, что:

    1) (),

    2) существуют и непрерывны производные (, ),

    3) существуют и непрерывны производные (, , ),

    4) для всех ранг матрицы, образованной частными производными, равен .

    Если гипотеза верна и – МП-оценка параметра , тогда распределение статистики,

    стремится при к распределению .

    Без доказательства.

    В качестве критической области выбирается область вида:

    ,

    где пороговое значение выбирается исходя из заданного уровня значимости как квантиль уровня распределения . В остальном статистический критерий аналогичен статистическому критерию хи-квадрат, рассмотренному в пункте 2.

     

    Применение критерия хи-квадрат к задаче проверки гипотезы о распределении с неизвестным параметром.

    Пусть – выборка из неизвестного распределения и основная гипотеза заключается в том, что , где – функция распределения известная с точностью до значения параметра . Требуется предложить критерий проверки гипотезы .

    На практике сформулированную задачу заменяют другой, но «близкой» задачей: выбираются точки и рассматривается разбиение числовой оси на полуинтервалы и интервалы:

    , , …, .

    Рассматриваются события , …, :

    .

    Легко видеть, что,

    ,

    ,

    …,

    .

    Для исходной выборки определяется вектор так, что:

    ,

    .

    В качестве основной гипотезы рассматривается «расширенная» гипотеза :

    , ,

    ,

    ,

    …,

    .

    Для проверки гипотезы используется статистический критерий со статистикой , где – МП-оценка параметра .

    В качестве критической области выбирается область вида:

    ,

    где – квантиль уровня распределения и – заданный уровень значимости.

    На практике, как правило, сперва вычисляется МП-оценка , и лишь затем производится разбиение числовой оси с помощью точек , …, так чтобы .

     

     






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.