Тема: тригонометричні функції.

1. Розв’язати рівняння: .

Розв’язання:

І спосіб. За визначенням зворотних тригонометричних функцій
.

Знайдемо . Це завдання зводиться до наступної:

«знайти cos α, якщо і ()».

Оскільки cos α > 0, то .
Отримуємо рівняння . Звідки .
.

Друге значення для x не підходить, оскільки .
Отже,

ІІ спосіб. Позначимо ліву і праву частини даного рівняння через y. Тоді . Для y маємо тригонометричне рівняння, яке зводиться до квадратного:

За змістом завдання ,

Отже, ,

Значить, .
Відповідь:

2. Розв’язати рівняння: .
Розв’язання: Оскільки , То ліва частина не перевершує 3 та дорівнює 3, якщо .

Для знаходження значень x, що задовольняють обом рівнянням, поступимо таким чином. Вирішимо одне з них. Потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому.

Почнемо з другого: .
Тоді .

Зрозуміло, що лише для парних k буде .
Відповідь: [2].

3. Знайти в градусах корінь рівняння: , Якщо .

Розв’язання: Рівняння є однорідним другого порядку. Розділивши обидві частини на . Отримаємо рівняння , квадратне щодо Вирішивши його, знайдемо За умовою .

Значить, . При цих значеннях аргументу . Отже, рівняння не має розв’язків.

З рівняння знаходимо . Значить, . Надаючи значення , Вибираємо , Що задовольняють умові . При отримаємо .
Відповідь. [17].

4. Розв’язати нерівність: . Розв’язання: Тут повинна виконуватися умова , Тобто . Зробимо перетворення: . Так як при , то досить вирішити нерівність , тобто . Вважаючи і побудувавши графік функції (Рис. 4), встановлюємо, що: або .

Рис. 4.

У ці інтервали значення не входять.

Відповідь: , Де .

5. Розв’язати нерівність: .
Розв’язання: перетворимо ліву частину рівності:

Залишається розв’язати нерівність , Тобто . Вважаючи і побудувавши графік функції (Рис.5) знаходимо
або . Звідси .

Рис.5

Відповідь: .

6. Розв’язати нерівність: .
Розв’язання: послідовно перетворюючи ліву частину нерівності, отримаємо

Отже, маємо нерівність або . Вважаючи , За допомогою графіка функції (Рис.6), встановлюємо, що , Звідки ,.

Тобто , .

Рис. 6.

Відповідь. , [6].