Тема: похідна та її застосування.

1.Доведіть тотожність:

Доведення: розглянемо функцію: f (х)=

f ‘(х)=sin2x(- cos2x + cos2x) ‏

Оскільки, f ‘(х)=0 при будь-яких х, то функція f (х) стала в R.

Знайдемо значення функції в точці х=0.

f(0)=(cos0)⁴ – 1/8 cos0 – 2(cos0)² + 1/2cos0=-5/8.

Отже на множині R виконується дана тотожність.

2. Знайдіть суму:

Розв’язання: переформулюємо завдання і знайдемо значення функції f(х)=1+2х+3х²+4х³+…100х⁹⁹ в точці х=3.

Очевидно f(х)=1+2х+3х²+…+100х⁹⁹ = (х+х²+х³+…х¹⁰⁰)’.

Розглянемо тепер функцію S(х)= х+х²+х³+…х¹⁰⁰.

f(х)= S’(х), то f(3)= S’(3).

Доданки функції S(x) утворюють геометричну прогресію, перший член якої х, останній х¹⁰⁰, знаменник х.

Функція S (х) – сума геометричної прогресії.

S(х) =

S’(х) =

f (3)= S’(3)= =

Відповідь: =

3. Порівняйте числа:

Розв’язання: нехай маємо многочлен y = х³ - 6х² + 9х.

Дослідимо на монотонність:

y’ = 3х² - 12х + 9

y’ = 0 при х₁= 1, х₂ = 3

При , y’(х)< 0, при х 3, y’(х)> 0,

Отже y(3, 12341234) < y(3, 12344321), а це означає, що А< В

Відповідь: А< В

4. Яке з чисел більше:

Розв’язання: розглянемо функцію f (х) = х+cos х.

Оскільки f ‘(х) = 1-sin х 0 при всіх дійсних х і f’(х)=0 при х=

Функція f (х) = х+cos х зростає на множині всіх дійсних чисел, тому:

f (1988) < f (1989),

Тобто:

1988+ cos1988< 1989+ cos1989.

Відповідь: cos1988< 1+ cos1989