Применение метода ММА к колебательным системам Вопрос 8

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Вернёмся к самому простому RLC резонансному контуру (рис. 22). Колебания в нём описываются следующим уравнением

Введём безразмерное время t = w ₀ t; после дифференцирования по этой переменной, получим

Будем решать уравнение в форме (3.15), т. е. через амплитуду и фазу. В этом случае, с учётом (3.16), будет

Подставляя в укороченные уравнения (3.20) мы получаем

Эти укороченные уравнения легко интегрируются:

Следовательно, колебательный процесс в контуре описывается функцией

Можно, конечно, искать решение уравнения (3.2) методом Лапласа в виде x (t) = X ₀ e^pt, тогда характеристическое уравнение имеет вид

Сравним теперь решения, полученные разными методами - методом ММА и общим методом Лапласа, т. е. (3.24) и (3.25). Как видно, амплитуда меняется одинаково, а частота определена неправильно: метод ММА говорит, что колебания будут с частотой w ₀, хотя точное решение даёт небольшой сдвиг частоты. Дело в том, что мы сами задаём с самого начала, что колебания будут с частотой w ₀ введением безразмерного времени, т. е. что заложили, то и получили. Мы можем, в принципе, задавать и произвольную частоту w.

Рассмотрим нелинейный контур с конденсатором с сегнетоэлектриком в пренебрежении затуханием (рис. 19). Запишем (2.20) вместе с (2.19):

Введём x = q / q ₀, где q ₀ - некоторый заряд, соответствующий ожидаемой максимальной амплитуде колебаний в контуре, тогда наше уравнение примет вид

Введём новый масштаб времени t = wt, где w не обязательно совпадает с w ₀. С учётом этой подстановки

Учитывая, что мы ограничиваемся случаем | x | < < 1 и g < < 1 (частота колебаний мало отличается от частоты собственных колебаний), можно, отбрасывая член второго порядка малости, приближённо записать

Это уравнение принадлежит к типу

, и к нему можно применить метод ММА. Используем вариант с медленно меняющимися амплитудами u и v (представление (3.13)), тогда укороченные уравнения, с учётом (3.9), будут иметь вид

Так как нет диссипации, то мы можем сказать, что

. Это возможно в случае, если x = 0. Из этого следует, что w = w ₀, т. е. мы теряем неизохронность колебаний (аналогично было в методе последовательных приближений). Таким образом, метод ММА не позволяет найти сдвиг частоты в контуре с квадратичной нелинейностью. Это связано с тем, что метод ММА - метод первого порядка. Чтобы этого избежать, необходимо взять вторые гармоники ряда Фурье.

Рассмотрим колебательный контур с малым нелинейным затуханием, т. е. RLC контур (рис. 22). Рассмотрим колебания с постоянными L и C, но с сопротивлением R (i), зависящим от тока по закону R = R ₀(1 + g ₀ i ²). Это соотношение качественно передаёт зависимость омического сопротивления проводников от протекающего через них тока за счёт их нагрева.

Вводя, как обычно, новые переменные x = q / q ₀ и t = w ₀ t, где

, получим уравнение

При малом затухании, когда

для приближённого решения задачи можно применить метод ММА. Тогда исходное уравнение удобно записать в виде

Используя (3.15) и (3.16) для X и q имеем укороченные уравнения

Первое из этих уравнений домножим на 2 X и сделаем замену y = X ², тогда

где D - постоянная, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент при t = 0 X (0) = X ₀, то

Полученное соотношение для X выражает закон уменьшения амплитуды колебаний в исследуемом нелинейном контуре, начиная от исходного значения X ₀.

Отметим также, что, как следует из проведённого рассмотрения, величиной, определяющей ход процесса, является амплитуда колебаний, а фаза колебаний не играет никакой роли. Это обстоятельство вполне понятно, так как характер движения задаётся исходным запасом колебательной энергии, сообщённой контуру вначале процесса, а фаза колебаний никак не определяет ход колебания - соответствующим выбором произвольного для автономной системы начала отсчёта времени фазу можно сделать любой.