Метод последовательных приближений

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Неизохронность колебаний математического маятника связана с нелинейностью описывающего их уравнения (2.7). Общих методов решения нелинейных ДУ не существует, но есть несколько приближенных методов. Дальше мы рассмотрим один из таких методов - метод последовательных приближений.

Сначала проделаем на примере маятника, а потом приведём к общему виду. Разложим нелинейное слагаемое sin(x) в уравнении (2.7) в ряд Тейлора, ограничиваясь вторым слагаемым

Зависимость периода колебаний от амплитуды (неизохронность колебаний) определяется коэффициентом a. Если a = 0 колебания чисто изохронные и период T = 2 p / w ₀.

Дальше воспользуемся теоремой из теории ДУ, что решение ДУ непрерывно зависит от параметра. Так как есть период, зависящий от w₀ то можно сказать, что w₀ - это параметр системы, который совпадает с частотой линейных колебаний. Введём параметр w - частота действующих (свободных) колебаний w = 2 p / T (a). Мы знаем, что при a = 0, она совпадает с w ₀, и непрерывно зависит от a, т. е. мы можем представить её в виде ряда по степеням a. Исторически сложилось (да и проще) раскладывать w ²:

Считая нелинейность малой, мы ограничиваемся только первым слагаемым, содержащим a. Подставим (2.11) в (2.10), тогда, сохраняя только первые степени по a, получим

Решение x (t) уравнения (2.12) тоже непрерывно зависит от параметра a, причём при a = 0

В силу непрерывности решения по a, можно записать, ограничиваясь только первой степенью a, что при a ¹ 0,

Подставим это решение в (2.12), пренебрегая степенями a со второй включительно

и, учитывая уравнение нулевого приближения для x ₀

получим окончательное уравнение первого приближения

В нашем случае, выбирая начальные условия в виде t = 0, x = a,

, находим решение уравнения нулевого приближения

Уравнение первого приближения соответственно будет

У нас получилось линейное уравнение, в правой части которого стоят гармонические силы. Получилось, что на систему с собственной частотой w действуют два гармонических процесса с частотами w и 3 w. Так как потерь нет, то колебания совершаются с бесконечной амплитудой (на частоте w резонанс), поэтому, чтобы такого не было, необходимо положить

тогда уравнение первого приближения примет вид:

Из предыдущего соотношения находим, что

. Тогда, подставив его в (2.11), получим

Решение уравнения первого приближения будет иметь вид:

где С ₁ и С ₂ - произвольные постоянные. Тогда полное решение (2.10) в первом приближении запишется следующим образом:

Значения произвольных постоянных можно найти, требуя от этого решения, чтобы оно удовлетворяло тем же начальным условиям, т. е.

, тогда окончательно с учётом формулы (2.15)

Из найденного соотношения видно, что колебания не изохронные и в них присутствуют высшие гармоники. Для математического маятника частота свободных колебаний убывает с ростом их амплитуды.