Метод ММА для колебательных систем с малыми нелинейностями и потерями при гармоническом силовом воздействии

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Общая запись уравнений для неавтономной системы первого порядка при силовом воздействии:

В предельном случае если m ® 0, тогда получаем неоднородное ДУ вида

решение которого будет x ₀(t) = a cos(w ₁ t), где амплитуда колебаний

Возвращаясь к (4.18) и считая нелинейность слабой, будем искать решение в виде

Подставляя это решение в исходное уравнение, можно записать

Видно, что это уравнение вида (3.8). Для возможности применения метода ММА необходимо потребовать, чтобы внешняя сила была мала по амплитуде и имела бы тот же порядок малости, что и малые силы, связанные с нелинейными и диссипативными свойствами системы и возникающие при конечных амплитудах колебаний в ней. В таком случае воздействующую силу можно объединить с этими малыми силами и свести рассмотрение задачи к приближенному исследованию уравнения типа

которое отличается от рассмотренного ранее (см. (3.8)) тем, что функция f ₁ зависит не только от переменной x и её производной, но и явно от времени.

Вводя в исходное уравнение новый масштаб времени t = w ₁ t, получим

Вводя обозначение

и требуя, чтобы расстройка x была величиной порядка малости m, запишем

В правой части этого уравнения малые параметры; обозначив

, запишем окончательно

Тогда можно решить это уравнение в соответствии с методом ММА.

В качестве простейшего примера рассмотрим вынужденные колебания в контуре с нелинейным затуханием R (i) = R ₀(1 + g ₀ i ²) (см. рис. 26). Для подобного контура мы можем записать уравнение Кирхгофа в виде

Если считать, что собственная частота контура w ₀ близка к частоте внешней силы w ₁, то, вводя обозначения

Для применимости метода ММА к решению этого уравнения необходимо потребовать, чтобы выполнялись неравенства: расстройка x < < 1, затухание в системе 2 h < < 1, амплитуда внешнего воздействия P < < 1, т. е. чтобы все члены в правой части уравнения были малы по сравнению с членами в левой его части.

Решение будем искать в виде (3.15), тогда, вводя t ₁ = t + q, получаем следующие укороченные уравнения

Стационарные решения находят из укороченных уравнений при условии, что амплитуда и фазовый сдвиг не меняются:

или

, т. е. из системы уравнений

возводя левые и правые части этих уравнений в квадрат и складывая их, получим уравнение

оно представляет собой уравнение резонансной кривой для добротного колебательного контура с нелинейным сопротивлением.

При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Мы предполагаем, что есть третья гармоника, т. е. если w ₁ - частота внешнего воздействия, то 3 w ₁» w ₀. Настраиваем контур на эту гармонику и ищем решение (4.20) методом ММА в виде

Результат получается достаточно близким к тому, который даёт метод гармонического баланса.

Полученные выше укороченные уравнения позволяют найти не только стационарные амплитуду и фазу вынужденного колебания, но в принципе и закон установления стационарного процесса путём интегрирования системы укороченных уравнений (4.22). В этом, в частности, заключается большая эффективность метода ММА по сравнению с методом гармонического баланса, дающего в принципе только стационарные значения амплитуд.