Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Генерация высших гармоник Вопрос 11
Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник. Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком . Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:
При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если w 1 - частота внешнего воздействия, то w 1» w 0/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде , тогда получается . Оставляя в разложении f (q) в ряд Фурье только члены с cos t и cos3 t и приближенно положив - f (q) = a 1cos t + a 3cos3 t, получим систему двух уравнений
Для выбранного вида нелинейности имеем
Для свободных колебаний системы с нелинейностью (P = 0) из (4.14) получим уравнения
Здесь w - основная частота свободных колебаний нелинейной системы, заменившая частоту w 1, которая задавалась внешним воздействием. Из последней системы можно найти соотношение между амплитудами гармоник . Нетрудно убедиться, что из системы (4.16) можно получить частоту свободных колебаний: . Как мы видим, w отличается от w 0 лишь на величину порядка e. Иначе обстоит дело при наличии воздействия (P ¹ 0). Тогда частота возбуждаемого колебания будет задаваться внешним воздействием. В рассматриваемом случае частота w 0 близка к 3 w 1. В результате соотношение между амплитудами основного колебания и его третьей гармоники должно быть совсем иным. Для определения a 1 и a 3 имеем систему (4.14). Заменяя из (4.16) в первом уравнении a 1 на w 2 a 1, получаем , откуда выражение для амплитуды основной гармоники . Здесь мы учли, что w» w 0 (с точностью до величины порядка e), а w 0» 3 w 1.
. Так как e ¹ 0, то на e можно сократить
Это решение описывает установившийся процесс. Таким образом, нелинейность зависит от отношения x / e. Зависимость амплитуды третьей гармоники от этого отношения представлена на рис. 31.
|