Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Генерация высших гармоник Вопрос 11






    Явление, когда появляются высшие гармоники при гармоническом воздействии на нелинейную систему, называется генерацией гармоник.

    Рассмотрим, например, колебания в нелинейной консервативной системе с конденсатором с сегнетоэлектриком при достаточно большой амплитуде гармонического воздействия, причём собственная частота малых свободных колебаний системы близка к утроенной частоте воздействия. Для конденсатора с сегнетоэлектриком

    .

    Уравнение (4.3) будет в этом случае иметь вид:

    , где . (4.13)

    При большой нелинейности нельзя предполагать, что решение близко к гармоническому. Можно ожидать появления высших гармоник. Мы допустили, что есть третья гармоника, т. е. если w 1 - частота внешнего воздействия, то w 1» w 0/3. В этом случае можно ограничиться только первой и третьей гармониками и искать вынужденные колебания в виде

    ,

    тогда получается

    .

    Оставляя в разложении f (q) в ряд Фурье только члены с cos t и cos3 t и приближенно положив - f (q) = a 1cos t + a 3cos3 t, получим систему двух уравнений

    ;   . (4.14)

    Для выбранного вида нелинейности имеем

    (4.15)

    Для свободных колебаний системы с нелинейностью (P = 0) из (4.14) получим уравнения

    ;   . (4.16)

    Здесь w - основная частота свободных колебаний нелинейной системы, заменившая частоту w 1, которая задавалась внешним воздействием. Из последней системы можно найти соотношение между амплитудами гармоник

    .

    Нетрудно убедиться, что из системы (4.16) можно получить частоту свободных колебаний:

    .

    Как мы видим, w отличается от w 0 лишь на величину порядка e.

    Иначе обстоит дело при наличии воздействия (P ¹ 0). Тогда частота возбуждаемого колебания будет задаваться внешним воздействием. В рассматриваемом случае частота w 0 близка к 3 w 1. В результате соотношение между амплитудами основного колебания и его третьей гармоники должно быть совсем иным.

    Для определения a 1 и a 3 имеем систему (4.14). Заменяя из (4.16) в первом уравнении a 1 на w 2 a 1, получаем

    ,

    откуда выражение для амплитуды основной гармоники

    .

    Здесь мы учли, что w» w 0 (с точностью до величины порядка e), а w 0» 3 w 1.

    Рис. 31. Амплитуда третьей гармоники. Для определения a 3 воспользуемся вторым соотношением из (4.14), тогда, подставив его во второе уравнение системы (4.15), получим . Введём относительную расстройку x: , тогда получим уравнение третьей степени относительно a 3:

    .

    Так как e ¹ 0, то на e можно сократить

    . (4.17)

    Это решение описывает установившийся процесс. Таким образом, нелинейность зависит от отношения x / e. Зависимость амплитуды третьей гармоники от этого отношения представлена на рис. 31.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.