Вопрос 7

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Вопрос 7

Метод медленно меняющихся амплитуд (ММА) применим к системам с малыми нелинейностью и диссипацией и основан на известной теореме, что свойства системы и решение описывающего её ДУ изменяются непрерывно при изменении параметров этого уравнения. При малых нелинейностях и диссипации движение в системе будет близко к чисто гармоническому, соответствующему линейной консервативной системе, уравнение которой имеет вид

Введём безразмерное время t = w ₀ t, тогда в этом масштабе времени уравнение будет таким

Для системы близкой к линейной консервативной уравнение выглядит так:

где f - произвольная регулярная, в общем случае нелинейная функция координаты q и скорости её изменения, значения которой остаются малыми по сравнению со значениями членов, стоящих в левой части уравнения (3.7) (в силу слабой нелинейности параметров и малых потерь в системе).

Выберем в уравнении (3.7) масштаб по координате q и перейдём к безразмерной переменной x так, чтобы при колебаниях изменение x было порядка единицы, тогда правая часть (3.7) должна быть много меньше единицы:

При m = 0 решением уравнения будут чисто гармонические колебания

где a и b - постоянные, задаваемые начальными условиями.

При 0 < | m | < 1 будем считать, что решение может быть записано в виде

где u (t) и v (t) - медленно меняющиеся функции (в сравнении с cos(t)), так что

Но получается, что одной функции x (t) ставятся в соответствие две функции u (t) и v (t), т. е. задача становится заведомо неоднозначной. Можно произвольно задать одну из функций и подобрать к ней вторую, при этом, если мы не угадаем, то эта функция будет быстро меняться. Потребуем, чтобы функция x (t) удовлетворяла условию:

При выполнении условия (3.11) уравнение-связь (3.9) становится однозначным, т. е. становится однозначной связь функций x (t), u (t) и v (t).

Используя уравнения (3.9) - (3.11), преобразуем (3.8): продифференцируем (3.10) по времени и сложим с (3.9) с учётом (3.8):

Умножим (3.12) на sin(t), а (3.11) на cos(t) и вычтем из первого второе; потом умножим (3.12) на cos(t), а (3.11) на sin(t) и сложим их, тогда получим систему:

Таким образом, мы получили систему двух уравнений первого порядка (3.13), которая, естественно, полностью эквивалентна одному уравнению второго порядка (3.8). Она не даёт никаких преимуществ в смысле упрощения задачи. Существенный в шаг в сторону нахождения приближенного решения можно сделать, если воспользоваться условием медленного изменения функций u и v за период. Заменим мгновенные значение u и v их средними значениями за каждый период колебаний, равный 2 p. Производя усреднение по периоду, мы приходим к системе так называемых укороченных уравнений

Эта система уже не содержит в правой части в явном виде времени t, и во многих случаях её можно легко проинтегрировать, получая временной ход медленно меняющихся функций u (t) и v (t), являющихся амплитудами искомого решения.

Систему уравнений (3.14) можно получить из системы (3.13), если правые

части разложить в ряд Фурье как периодические функции с периодом 2 p и отбросить все осциллирующие члены (в системе (3.14) записаны только первые слагаемые ряда). В этом отбрасывании осциллирующих членов и заключается " укорочение", приводящее от системы уравнений, точно соответствующей исходному уравнению, к приближенным укороченным уравнениям.

Переход от переменных x,

к переменным u, v эквивалентен переходу от фазовых координат x,

к вращающейся системе координат u, v. Это означает, что система координат u, v в координатной плоскости x,

вращается с угловой частотой, равной единице.

Рассмотрим теперь другой вариант метода ММА с переходом от исходных координат x,

к радиальным координатам - амплитуде X и фазе q, которые также являются медленными переменными в масштабе времени t.

Будем теперь искать решение исходного уравнения (3.8) в виде

Дальше дифференцируем (3.16) по времени, с учётом равенства (3.17), и вместе с (3.15) подставляем в исходное уравнение (3.8), тем самым, выражая его через новые переменные X и q.

Из (3.17) и (3.18) находим точную систему дифференциальных уравнений, описывающих процессы в системе

Здесь X (t) и q (t) являются медленными функциями времени t, что позволяет усреднить правые части (3.19) за период, считая, что за это время X и q не меняются. Указанная процедура усреднения приводит к системе укороченных уравнений вида

Найдём спектр ММА колебания. Для этого запишем сигнал ММА (3.15) в реальном масштабе времени:

Предполагается, что соотношение (3.16) выполняется, а центральная частота w ₀ выбирается так, чтобы амплитуда колебаний X (t) менялась как можно медленнее. Условие медленного изменения амплитуды принимает вид:

Здесь мы обозначили спектр комплексной огибающей колебания

У нас и X, и q меняются медленно, тогда комплексная огибающая меняется медленно по сравнению с характерным временем 1/ w ₀. Это значит, что t > > 1/ w ₀, где t - характерное время изменения комплексной огибающей.

D w < < w ₀, является ММА процессом, но обратное не обязательно.