Вынужденные колебания в консервативной нелинейной системе при гармоническом силовом воздействии, гармонический баланс Вопрос 10

При воздействии гармонической силы на линейную систему в ней, как хорошо известно, возникает гармонический вынужденный процесс с частотой вынуждающей силы и с амплитудой, определяемой параметрами системы, частотой и внешней силой. В частности, при совпадении частоты воздействующей силы с частотой свободных колебаний системы (при w ₁ = w ₀) в ней, при отсутствии потерь (консервативная система), возбуждается бесконечно нарастающий вынужденный колебательный процесс, соответствующий наступлению резонанса. Однако, если по-прежнему рассматривать консервативную, но нелинейную систему, то вследствие возможной неизохронности при возникновении в ней колебаний условие резонанса с изменением амплитуды колебаний может измениться, и в этом случае мыслимо установление конечной амплитуды вынужденного колебания при любой частоте воздействия. К нелинейным системам неприменим метод комплексных амплитуд, поэтому анализ вынужденных колебаний в таких системах часто проводят методом гармонического баланса.

В общем случае консервативная нелинейная система второго порядка, находящаяся под силовым воздействием, описывается функцией

.

(4.3)

Будем считать, что нелинейность слабая, и в качестве основного приближения рассмотрим решение .

Рис. 29. Графическое определение амплитуды вынужденных колебаний в нелинейной системе.

Рис. 30. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты воздействия в системе с " жёсткой" нелинейной возвращающей силой.

Подставим решение в (4.3)

.

(4.4)

Если нелинейность не слишком велика, положим f (a cos(w ₁ t)) = f (a)cos(w ₁ t). Так как (4.4) должно удовлетворяться при любых значениях аргументов, то необходимо потребовать, чтобы

.

(4.5)

Решение этого уравнения удобно получить графически (рис. 29). Строя заданную функцию z = - f (a) и прямую , мы в точке их пересечения получим искомое решение a, т. е. найдём амплитуду приближенного гармонического решения. Для разных P и w ₁, т. е. для различных амплитуд и частот воздействия, можно найти значение a и построить соответствующие кривые a (w ₁) для различных P, т. е. построить некоторый аналог резонансным кривым для резонанса в линейных системах.

Для f (а), имеющей характер, показанный на рис. 29, эти кривые a (w ₁) имеют вид, изображенный на рис. 30, где показа­ны три такие кривые, соответствующие трем значениям P (P ₁> P ₂> P ₃). При P = 0 получим кривую, изображенную штрихо­вой линией; она соответствует собственной частоте свободных колебаний w изучаемой системы при различных амплитудах и называется скелетной кривой. Рассматривая характер получен­ных резонансных кривых, мы замечаем следующее: при частоте воздействия w ₁, меньшей частоты свободных колебаний w ₀, в систе­ме всегда происходит однозначно определяемое колебательное движение с амплитудой, зависящей от величин P и w ₁. Когда впроцессе своего изменения w ₁ становится больше w ₀, то, начиная со значения w ₁ > w ₀, в системе, кроме существовавшего ранее движения, оказываются возможными еще два колебательных процесса с различными амплитудами. При этом амплитуда ис­ходного вынужденного процесса с ростом w ₁ продолжает расти (область А), амплитуды же двух вновь появившихся решений изменяются так, что одна из них растет с ростом w ₁(область С), другая уменьшается (область В). Линия раздела этих областей показана на рис. 30 штрих-пунктирной кривой, и она проходит через точки амплитудных кривых с вертикальными касательны­ми. Таким образом, если для заданной амплитуды P воздейству­ющей силы ее частота w ₁ изменяется, начиная с малых значений до любых сколь угодно больших значений и обратно, мы получим однозначное решение, соответствующее одной из ветвей резонанс­ной кривой в области А. Отметим, что колебания в областях А и В для одной и той же амплитуды внешней силы P отличаются друг от друга по фазе на p.

Если же рассматривать поведение амплитуды вынужденного движения, начиная с больших значений w ₁, то мы будем двигать­ся по ветви резонансной кривой в области В в сторону уменьшения w ₁ и роста a до той точки, где касательная к резонансной кривой станет вертикальной. Дальнейшее уменьшение w ₁ может сопровождаться лишь скачком амплитуды вынужденного колебания а на ветвь кривой в области А (показано стрелкой) и дальнейшим изменени­ем а в соответствии с формой этой части резонансной кривой. Таким образом, мы не обнаружили естественного хода процесса, при котором система оказалась бы на ветви резонансной кривой в области С. Это согласуется с тем, что строгий анализ особенностей всех трёх типов решений показывает неустойчивость движений, соответствующих области С, в отношении любых сколь угодно малых вариаций параметров.

Правда, не следует придавать слишком большого значения сделанным выводам о вынужденных колебаниях при больших а и сильных уклонениях w ₁ от w ₀, так как в этих условиях действительное движение может значительно отличаться от гармонического и допущения, положенные в основу построения рассмотренной картины резонансных кривых, станут несправедливыми не говоря уже о расхождениях, связанных с заменой реальной системы консервативной.

Рассмотрим теперь ту же задачу приближенным аналитическим способом, методом гармонического баланса.

Для исследуемой системы, находящейся под гармоническим воздействием, используем уравнение (4.3). Задавшись гармоническим решением

,

(4.6)

получаем для P = 0

,

(4.7)

где f (a cos(wt) + b sin(wt)) - периодическая функция с периодом 2 p / w. Таким образом, её можно разложить в ряд Фурье

.

Оставляем только первую гармонику, тогда

.

Так как выражение должно выполняться для любого момента времени, то коэффициенты при cos(wt) и sin(wt) равны нулю, т. е. w ² a = a ₁, w ² b = b ₁.

Для свободных колебаний оба уравнения совершенно идентичны, так как, ввиду произвольности выбора начала отсчёта времени, значение x может быть с равным успехом выражено через cos(wt) или sin(wt) и их комбинацию. Коэффициенты a ₁ и b ₁ определяются из соотношений для нахождения коэффициентов ряда Фурье

(4.8)

Отсюда частота собственных колебаний

,

где t = wt.

Для примера рассмотрим колебания в резонансном контуре. Напряжение на конденсаторе меняется по следующему закону u = q (1 + e q ²)/ C ₀. Выбирая в качестве обобщённой координаты x заряд на конденсаторе, получим

.

Примем начальные условия в виде b = 0, тогда

.

Выражение для неизохронной частоты приобретает вид

.

(4.9)

Найденное выражение для частоты свободных колебаний несколько отличается от выражения (2.15), полученного при использовании метода последовательных приближений для контура с нелинейной ёмкостью. Однако с точностью до членов с более высокими степенями ³/₄ ea ² эти два выражения приводятся одно к другому, а различие, существенное при не слишком малых значениях ea ², связано с тем, что в методе последовательных приближений мы используем не чисто гармоническое решение, а учитываем наличие высших (например, третьей) гармонических составляющих.

Для конденсатора с квадратичной нелинейностью, характерной для варикапа, в уравнении (4.3) следует взять

.

В этом случае получится w = w ₀, так как метод гармонического баланса, как и метод ММА, является приближением первого порядка.

Возвращаясь к анализируемой задаче, рассмотрим теперь случай действия внешней силы на систему, т. е. P ¹ 0. Тогда, отыскивая решение с частотой внешней силы в нашем приближении, положим

(4.10)

и введём обозначение w ₁ t = t. Из (4.3) и (4.10) следует, что

.

Разлагая функцию - f (a cos t + b sin t) в ряд Фурье, и пренебрегая по-прежнему в рамках гармонического баланса высшими гармониками фурье-разложения, получим уравнения

;   .

(4.11)

Здесь, как и раньше a ₁ и b ₁ ищем по формулам (4.8). Используя эти соотношения, находим

.

(4.12)

Второе из этих уравнений может удовлетворяться только при b = 0, тогда из первого уравнения получаем

.

Здесь w (a) - частота свободных колебаний. Если эта зависимость известна, например, из формулы (4.9), можно найти зависимость a (w ₁, P) амплитуды вынужденных колебаний от частоты и амплитуды внешнего воздействия.