Приклад 3

Матеріальна точка бере участь одночасно у двох гармонічних коливальних процесах, які відбуваються в одному напрямку з однаковим періодом та з амплітудами і . Різниця фаз між цими коливаннями дорівнює . Початкова фаза одного з цих коливань дорівнює нулю . Знайти закон руху результуючого процесу.

Дано:

y ZXYueG1sTI7LTsMwEEX3SPyDNUjsWufBI4RMKkTpGlGo1KUbD0kgHke22yZ/j1nB8upenXuq1WQG cSLne8sI6TIBQdxY3XOL8PG+WRQgfFCs1WCZEGbysKovLypVanvmNzptQysihH2pELoQxlJK33Rk lF/akTh2n9YZFWJ0rdROnSPcDDJLkjtpVM/xoVMjPXfUfG+PBsEP7cvXvJvtOtNuXm/8nl7TG8Tr q+npEUSgKfyN4Vc/qkMdnQ72yNqLAWFxn8clQpGBiHWe5rcgDggPBci6kv/16x8AAAD//wMAUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVz XS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAOP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMv LnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAI8h+GvMBAAD2AwAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uy b0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA2ovf09sAAAAGAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAABNBAAAZHJz L2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAFUFAAAAAA== " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>

Розв’язування

Закони руху для кожного з процесів у загальному вигляді можна записати рівняннями:

. (1)

Закон руху точки, яка бере участь у двох коливальних процесах, буде

, (2)

де – зміщення точки від положення рівноваги.

Оскільки обидва коливання гармонічні, мають однакові частоти і напрямки поширення, то результуюче коливання також буде гармонічним і матиме таку саму частоту. Тому закон руху можна записати у вигляді:

, (3)

де і – відповідно амплітуда і початкова фаза результуючого коливання.

Їх можна знайти графічно методом векторних діаграм або аналітичним методом.

Скористаємось аналітичним методом. Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

. (4)

Розкриємо синуси суми двох кутів і згрупуємо окремо члени, до складу яких входять і .

Одержимо

.

Цей вираз перетворюється на тотожність за будь-яких значень , коли коефіцієнти біля і у лівій і правій частинах рівняння будуть однаковими, тобто

; (5)

. (6)

Поділивши рівняння (6) на рівняння (5), дістанемо:

. (7)

Піднесемо ліві і праві частини рівнянь (5) і (6) до квадрата, додамо їх і згрупуємо члени. Отримаємо:

. (8)

За формулою (7) знайдемо початкову фазу результуючого коливання:

, або

За формулою (8) знайдемо амплітуду результуючого коливання:

.

Циклічна частота коливання визначається за періодом:

.

Підставивши значення в рівняння (3), дістанемо закон руху результуючого коливання:

.

Відповідь: .