Приклад 6. Рух матеріальної точки задано рівняннями см; см

Рух матеріальної точки задано рівняннями см; см. Знайти рівняння траєкторії і швидкість руху точки в момент часу .

Дано:

см

см

Розв’язування

З рівнянь руху матеріальної точки видно, що точка одночасно здійснює гармонічні коливання з однаковою частотою в напрямку координатних осей ОХ і ОУ.

Знайдемо рівняння траєкторії результуючого руху. Для цього виключимо із заданих рівнянь час . Із першого рівняння визначимо:

,

друге перетворимо так:

.

З урахуванням першого рівняння друге запишемо у вигляді:

.

Піднесемо його до квадрата:

,

звідки

.

Це рівняння результуючого коливання, що є рівнянням кола із радіусом (див. рис. 39).

Знайдемо швидкість точки в момент часу . Модуль швидкості, як відомо, дорівнює:

,

де ,

.

Тоді модуль швидкості матеріальної точки:

.

Визначимо напрямок швидкості точки і, отже, напрямок її руху по коловій траєкторії. Для цього знайдемо координати точки в момент часу , тобто її зміщення в напрямку осей ОХ і ОУ:

;

.

Отже, в момент часу координати точки М становлять , . У точці М (0; 25, 0) побудуємо проекції швидкостей і , тоді знайдемо напрямок швидкості (див. рис. 39).

Рисунок 39

З рис. 39 видно, що точка рухається по колу проти годинникової стрілки.

Відповідь: рівняння траєкторії точки .