Матрица линейного оператора

Линейный оператор A действует из n -мерного линейного пространства X в m -мерное линейное пространство Y.

В этих пространствах определены базисы e = {e ₁,..., e _n } и f = {f ₁,..., f _m }.

Пусть A (e _i) = a _{1 i} ·f ₁ + a _{2 i} ·f ₂ +...+ a _{m i} ·f _m — разложение образа i -го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2,..., n.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f, A = { a _{i j} } = { A (e _j) _i }:

Координаты образа y = A (x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A · x,

29…

Матрицы линейных операторов в заданном базисе линейного пространства V. Фиксируем в линейном пространстве V базис
e₁, е₂,..., е_n. Пусть х — произвольный элемент V и

разложение х по данному базису.
Пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда из (5.11) получаем

Полагая

перепишем (5.12) в следующей форме:

Таким образом, если у = Ах и элемент у имеет координаты y¹, y²,..., yⁿ , то

Рассмотрим квадратную матрицу А с элементами а^j_k:

А = (а^j_k).

Эта матрица называемся матрицей линейного оператора в заданном базисе е₁, е₂,..., е_n.

30…

Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса

Пусть -- -мерное линейное пространство, и -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем " старым", а второй -- " новым". Пусть -- матрица перехода 19.1.4 а от старого базиса к новому.

Предложение 19.1 Пусть -- линейное преобразование пространства , и -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда

Доказательство. Пусть -- произвольный вектор пространства , -- его образ, то есть . Пусть и -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а , -- в новом. Тогда в силу формулы (19.3) . По предложению 18.5 имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы (19.3) в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .

Определение 19.2 Две квадратных матрицы и одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица , что .

Следствие 19.1 Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

31..

Квадратные матрицы A и B одинакового порядка называются подобными, если существует невырожденная матрица P того же порядка, такая что:

Подобные матрицы получаются при задании одного и того же линейного преобразования матрицей в разных координатных системах; при этом матрица Р является матрицей перехода от одной системы к другой.

Если две матрицы подобны, то говорят, что одна из матриц может быть получена преобразованием подобия из другой. Если при этом одна из матриц диагональная, то про вторую матрицу говорят, что она может быть диагонализована.

32…

Произведением линейных операторов А и В из называется оператор АВ, определяемый следующим образом: (А В) А(В для любого из V. Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Справедливы следующие свойства умножения линейных операторов:

1. АВ) = ( А)В.

2. (АВ)Е = А (ВЕ).

3. (А + В)Е = АЕ + ВЕ, Е(А + В) = ЕА + ЕВ.

Умножение линейных операторов, вообще говоря, некоммутативно.

Легко увидеть, что для всякого линейного оператора А А . При этом если А только при , то оператор называется невырожденным; если же найдется такой вектор , что А , то оператор А – вырожденный.

Линейный оператор В из называется обратным для оператора А из , если выполняется соотношение АВ = ВА = Е. Обратный оператор обычно обозначается как А^–1. Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

Будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам и отвечают различные элементы А и А . Для того чтобы линейный оператор А из имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.

33..

Два линейных пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются условия:

1) сумме векторов пространства соответствует сумма соответствующих векторов пространства

2) произведению числа на вектор пространства соответствует про изведение того же числа на соответствующий вектор пространства

Другими словами, изоморфизм — это взаимно однозначное соответствие, сохраняющее линейные операции.

Пример 8.5. Установить между пространствами и взаимно однозначное соответствие, которое

а) является изоморфизмом;

б) не является изоморфизмом.

Решение. а) Поставим в соответствие каждому числу число по правилу: . Тогда каждое число отвечает одному числу . Следовательно, правило устанавливает взаимно однозначное соответствие . Если и , т.е. , и , то . так как . Если , т.е. , то для любого действительного числа , так как . Следовательно, соответствие сохраняет линейные операции, т.е. является изоморфизмом.

б) Рассмотрим взаимно однозначное соответствие , устанавливаемое формулой (число оказывается сопоставленным числу ). Это соответствие не является изоморфизмом, так как не сохраняет линейные операции. Например, если , т.е. , то . Значит, , что противоречит условию для .

Теорема 8.3 об изоморфизме линейных пространств. Два конечно мерных линейных пространства (над одним и тем же числовым полем) изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одну и ту же размерность.

Действительно, если пространства изоморфны , то базису пространства соответствует линейно независимая система векторов пространства (см. пункт 3 замечаний 8.6), которую в случае необходимости можно дополнить до базиса пространства (см. теорему 8.2). Следовательно, . Аналогично получаем противоположное неравенство . Таким образом, (необходимость доказана). Достаточность следует из пунктов 4, 5 замечаний 8.6. Действительно, пусть пространства и определены над полем и . Тогда, выбрав любые базисы в пространствах и , установим изоморфизмы и , если и — вещественные пространства. Если пространства и определены над полем комплексных чисел, то и . В обоих случаях, согласно пункту 5 замечаний 8.6, пространства и изоморфны.

34..