Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте
    Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
    Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
    Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:
    Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
    Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
    Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;
    Начать пользоваться сервисом
  • Замечания.






    Размерность пространства, состоящего только из одного нулевого вектора, равна нулю. Такое пространство называется тривиальным.

    Если в линейном пространстве существует любое число линейно независимых векторов, то такое пространство называется бесконечномерным.

    Определение. Упорядоченная система векторов e1, e2, …, en Î X называется базисом в X, если

    система векторов e1, e2, …, en линейно независима;

    любой вектор x пространства X может быть представлен в виде

      x = ξ 1e1 + ξ 2e2 + … + ξ nen.  

    Выражение называется разложением вектора x по базису e1, e2, …, en.

    Коэффициенты ξ 1, ξ 2, …, ξ n в разложении векторапо данному базису определяются однозначно.

    7….
    Пусть , – два базиса произвольного векторного пространства V над полем K. Назовем первый базис " старым", а второй " новым". Разложим векторы нового базиса по старому базису:

    (2)

    (Обратите внимание на нумерацию коэффициентов!)

    Каждое равенство в (2) можно записать в матричной форме, если мы формально воспользуемся правилом умножения строки на столбец. Пусть – строка длины , элементами которой являются векторы старого базиса. Аналогично, – вектор–строка нового базиса. Будем рассматривать эти строки как матрицы соответствующих размеров и производить с ними действиякак с числовыми матрицами. (Такие действия можно обосновать.) Тогда, ,

    .

    Если мы обозначим столбец координат вектора через :

    ,

    то последнее равенство можно записать в виде:

    ,

    а всю систему равенств (2) – в виде:

    ,

    где

    .

    Таким образом, равенства (2) в матричной форме записи имеют вид:

    . (3)

    Такая форма записи позволяет значительно облегчить выкладки.

    Определение. Матрица

    называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису .

    Матрицу перехода от базиса к базису мы обозначать буквой С или или .

    В этих обозначениях равенство (3) принимает вид:

    Свойства матрицы перехода

    Лемма. Пусть А и В – две матрицы размера над полем K. Если для любого столбца выполняется равенство , тогда .

    Доказательство. Пусть – столбцы матрицы А, – столбцы матрицы В, – канонический базис пространства столбцов .

    Подставляем в равенство вместо столбца Х столбцы канонического базиса. Получаем равенство . Легко проверить, что , верны равенства и . Отсюда, , , а значит и , ч.т.д.

    Лемма доказана.

    Теорема. Пусть , , – три базиса произвольного векторногопространства . Тогда

    . (9)

    Доказательство. Пусть – произвольный вектор, , и –столбцы его координатотносительно базисов , , соответственно. Тогда по теореме предыдущего параграфа, справедливы равенства:

    , , .

    Подставляя второе из этих равенств в первое, получаем:

    ,

    откуда следует, что

    .

    Так как мы взяли произвольный вектор , то столбец его координат может быть любым столбцом из пространства столбцов . Применяя лемму, получаем равенство

    .

    Теорема доказана.

    Следствие. Матрица перехода является обратимой.

    Доказательство. Пусть , – произвольные базисы векторного пространства V. По формуле (9) находим:

    ,

    где вместо базиса мы взяли базис . Легко видеть из определенияматрицы перехода, что матрица перехода от базиса к этому же базису является единичной, т.е.

    и мы имеем:

    .

    Аналогично получаем

    .

    Отсюда следует, что , а , ч.т.д.

    8….






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.