Свойства. Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Ортогональное дополнение является подпространством, то есть замкнуто относительно сложения векторов и умножения на элемент поля.

Радикал билинейной формы является подпространством любого ортогонального дополнения.

Если форма

является невырожденной, а пространство

конечномерно, то

Если же

— конечномерное евклидово пространство и

— скалярное произведение (или же унитарное пространство и эрмитово скалярное произведение соответственно), то для любого подпространства

разлагается в прямую сумму

математике термин евкли́ дово простра́ нство может обозначать один из двух сходных объектов:

1. Конечномерное вещественное векторное пространство

с введённой на нём нормой

где

. Также назывется конечномерным гильбертовым пространством

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством

над полем вещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства

размерности n = 1 (вещественная прямая) и

размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

, свойство коммутативности;
2)

, свойство дистрибутивности;
3)

;
4)

при

;
5)

;
6) Если

-- угол между векторами a и b, то

;
7)

, если

;
8)

тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны.

Пусть дано линейное пространство

со скалярным произведением

. Пусть

- норма, порождённая скалярным произведением, то есть

. Тогда для любых

имеем

В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей

неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций

неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом

неравенство Коши - Буняковского имеет вид:

Норма — понятие, обобщающее абсолютную величину (модуль) числа, а также длину вектора на случай элементов (векторов) линейного пространства.

Норма в векторном линейном пространстве

над полем вещественных или комплексных чисел естьфункция

, удовлетворяющая следующим условиям:

Норма

обычно обозначается

. Линейное пространство с нормой называется нормированным пространством.

Гёльдеровы нормы n -мерных векторов (семейство):

Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое

, причем при этом выполнены следующие условия:

Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние

. Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.

6.3.1. Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить

Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так

6.3.3. В пространстве

непрерывных функций на отрезке

определим норму формулой

Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.