Линейная оболочка системы векторов

Пусть - система векторов из векторного пространства V над полем P.

Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда . (1)

A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B). (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

Возьмём любые два вектора и из L(A), имеющие следующие разложения по векторам из A: . Проверим выполнимость условий 1) и 2) критерия:

, так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

, так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается L_r(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается L_c(A). Обратите внимание, что при строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств Pⁿ и P^m соответственно. Пользуясь утверждением (2), можно придти к следующему выводу:

Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

10….

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M - два подпространства пространства R.

Cуммой L + M называется множество векторов x+y, где x ∈ L и y ∈ M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L ∩ M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩ M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩ M. Пусть G g -мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G ⊂ L и G ⊂ M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

(6.1)составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

(6.2)Тогда

(6.3)

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

(6.4)принадлежит подпространству G=L∩ M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

(6.5)Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

или

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x ∈ L, y ∈ M. В свою очередь x представляется линейной комбинацей векторов а y - линейной комбинацией векторов . Следовательно векторы (6.10) пораждают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M− dim(L∩ M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y ∈ L и z ∈ M.

Прямая сумма обозначается L ⊕ M. Говорят, что если F=L ⊕ M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n -мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

(6.11)является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

(6.12Или

(6.13)Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть - вектором подпространства M и L ∩ M = 0, то

(6.14)Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

(6.15)Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈ R. Разложим его по базису (6.11):

(6.16)Из (6.16) имеем:

(6.17)

(6.18)Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x ₁∈ L и x ₂∈ M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

(6.19)Вычитая (6.19) из (6.17), получим

(6.19)Или

(6.20)Так как , и L ∩ M = 0, то и . Следовательно и . ■

11…

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем. Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

12…

Ортогональное дополнение подпространства векторного пространства с билинейной формой — это множество всех векторов , ортогональных каждому вектору из . Это множество является векторным подпространством , которое обычно обозначается .