Свойства

Количество жордановых клеток порядка с собственным значением в жордановой форме матрицы можно вычислить по формуле

где — единичная матрица того же порядка что и , символ обозначает ранг матрицы, а , по определению, равен порядку . Вышеприведённая формула следует из равенства

В случае если поле не является алгебраически замкнутым, для того чтобы матрица была подобна над некоторой жордановой матрице, необходимо и достаточно, чтобы поле содержало все корни характеристического многочлена матрицы .

У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1.

Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе.

Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до порядка клеток.

42..

Сопряженный оператор и его свойства. Матрица сопряженного оператора

Пусть A: V→ V – линейный оператор, где V=U или V=E. Определение: Оператор Наз-ся сопряженным к оператору A, если . Теорема: Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор . Оператор также является линейным. Доказательство: (для V=U) скалярное произведение явл-ся полуторалинейной формой в унитарном пр-ве U следовательно по теореме о представлении полуторалинейной формы существует единственный линейный оператор такой, что . По определению сопряж. Оператора # Замечание: Аналогично теорема доказывыается и для V=E. Свойства сопряженного оператора: 1. , здесь I – тождественный оператор. 2. 3. 4. 5. Если существует , то 6. Если подпространство инвариантно относит. оператора A, то подпространство инвариантно относит. сопряж. оператора . Доказательства свойств (V=U): 1) # 2) = = # 3) , отсюда из рав-ва операторов следует # 4) следовательно 5) если существует , то . или , след-но # 6) Существует , тогда и , но след-но # Пусть – ОНБ в унитарн. пр-ве U: – матрица опер. A, – матр. сопряж. оператора . Найдем связь между и . По определению матрицы лин. оператор , тогда запишем Итак, , аналогично можно записать . Запишем , т. е. – матрица сопряж. опер. .

43..

Самосопряженные операторы. Основные свойства.
Определение 2. Линейный оператор А из L(V, V) называется самосопряженным, если справедливо равенство

А* =А.

Самосопряженный оператор в вещественном пространстве определяется аналогично.
Простейшим примером самосопряженного оператора является тождественный оператор I (см. свойство 1° сопряженных операторов в предыдущем пункте).
С помощью самосопряженных операторов можно получить специальное представление произвольных линейных операторов. Именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.13. Пусть А — линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве V. Тогда справедливо представление А = А_R+ iА _I, где А_Rи А _I — самосопряженные операторы, называемые соответственно действительной и мнимой частью оператора А.

Доказательство. Согласно свойствам 2°, 3° и 4° сопряженных операторов (см. предыдущий пункт этого параграфа) операторы A_R= (А + А*)/2 и А_I= (А - А*)/2i — самосопряженные.

Очевидно, А = А_R+ iА _I Теорема доказана.

В следующей теореме выясняются условия самосопряженности произведения самосопряженных операторов. Мы будем говорить, что операторы А и В коммутируют, если АВ = ВА.

Теорема 5.14. Для того чтобы произведение АВ самосопряженных операторов А и В было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы они коммутировали.
Доказательство. Так как А и В — самосопряженные операторы, то, согласно свойству 5° сопряженных операторов (см. п. 1 этого параграфа), справедливы соотношения
(АВ)* = В*А* = ВА (5.52)

Следовательно, если АВ = ВА, то (АВ)* = АВ, т.е. оператор АВ — самосопряженный. Если же АВ —самосопряженный оператор, то АВ = (АВ)*, и тогда, на основании (5.52), АВ = ВА. Теорема доказана.
В дальнейших теоремах устанавливается ряд важных свойств самосопряженных операторов.
Теорема 5.15. Если оператор А самосопряженный, то для любого х ϵ V скалярное произведение (Ах, х) — вещественное число.
Доказательство. Справедливость утверждения теоремы вытекает из следующего свойства скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве и определения самосопряженного оператора (Напомним, что если комплексное число равно своему сопряженному, то
это число — вещественное.)

Теорема 5.16. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.
Доказательство. Пусть λ — собственное значение самосопряженного оператора А. По определению собственного значения оператора А (см. определение 2 § 3 этой главы) существует ненулевой вектор х
такой, что Ах = λ х. Из этого соотношения следует, что вещественное (в силу теоремы 5.15) скалярное произведение (Ах, х) может быть представлено в виде ²)

(2) Напомним, что символ ||х|| обозначает норму элемента х.)

Так как ||х|| и (Ах, х) вещественны, то, очевидно, и λ — вещественное число. Теорема доказана.

В следующей теореме выясняется свойство ортогональности собственных векторов самосопряженного оператора.
Теорема 5.17. Если А — самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны.

Доказательство. Пусть λ ₁ и λ ₂ — различные собственные значения (λ ₁ ≠ λ ₂) самосопряженного оператора A, a x₁ и х₂ - соответственно отвечающие им собственные векторы. Тогда имеют место соотношения Ax₁ = λ ₁x₁, Ах₂ = λ ₂х₂. Поэтому скалярные произведения (Ax₁, х₂) и (x₁, Aх₂) соответственно равны следующим выражениям 3):

3) Так как собственные значения самосопряженного оператора вещественны, то

Так как оператор А самосопряженный, то скалярные произведения (Ax₁, х₂) и (x₁, Aх₂) равны, и поэтому из последних соотношений путем вычитания получаем равенство

Поскольку λ ₁ ≠ λ ₂ то из последнего равенства следует равенство нулю скалярного произведения (x_1*х₂), т.е. ортогональность собственных векторов x₁ и х₂ Теорема доказана.

44..

Собственные значения и собственные векторы

вполне непрерывного самосопряженного оператора.

Основные определения и теоремы

Оператор ∗ A: E → E, действующий в евклидовом пространстве, называется

сопряженным к оператору A, если ∀ y1, y2 ∈ E) (,) (, 1 2 1 2 Ay y y A y

∗ =. Если ∗ A= A, то

оператор А называется самосопряженным.

Пусть линейный оператор A действует в линейном пространстве L. Число Λ

называется собственным значением оператора A, если существует элемент y ≠ θ такой,

что Ay y = Λ. Элемент y называется собственным вектором. Множество собственных

векторов, соответствующих собственному значению Λ, является подпространством

пространства L.

Число 1 λ = Λ ≠ (0) Λ называется характеристическим числом оператора A.

Теорема. Самосопряженный вполне непрерывный оператор A, действующий в

бесконечномерном евклидовом пространстве, обладает собственным вектором,

соответствующим собственному значению Λ: | | || || Λ = A. Это собственное значение

является максимальным по модулю среди всех собственных значений оператора А.

Теорема. Собственные векторы самосопряженного оператора A, соответствующие

различным собственным значениям, ортогональны.

Теорема. Число собственных значений вполне непрерывного самосопряженного

оператора A, удовлетворяющих условию: || || | | 0 A ≥ Λ ≥ > δ, (δ - фиксированное

положительное число) конечно.

Число линейно независимых собственных векторов, соответствующих

собственному значению, называется кратностью (рангом) собственного значения.

Теорема. Ненулевому собственному значению вполне непрерывного оператора A

может соответствовать только конечное число линейно независимых собственных

векторов.

Теорема.

а) Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора

А, действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве, представляет собой:

либо бесконечную последовательность, тогда 1 2 || || | | | |... | |... A = Λ ≥ Λ ≥ ≥ Λ ≥ n -

монотонно невозрастающая и ограниченная снизу нулем;

либо конечную последовательность, тогда 12 1 || || | | | |... | | 0 A = Λ ≥ Λ ≥ ≥ Λ > Λ = n n+

(каждое собственное значение повторяется в эти неравенствах столько раз, какова его

кратность).

б) Если ненулевых собственных значений бесконечно много, то 0 → ∞

Λ →

n n.

в) Каждому собственному значению отвечает хотя бы один собственный вектор, причем

можно выбрать собственные векторы так, что они образуют ортонормированную систему

(собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям ортогональны,

а собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению,

можно ортогонализовать, используя процедуру Грама-Шмидта).

Для характеристических чисел вполне непрерывного самосопряженного оператора

справедливы аналогичные результаты:

либо λ ≤ λ ≤ ≤ λ n... 1 2 (конечная последовательность характеристических чисел);

либо...... λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n ≤ (бесконечная последовательность характеристических чисел).

В этом случае = ∞ ← ∞ n n

lim λ.

45..

46…

Размерность любого подпространства линейного пространства не превосходит размерности пространства . Если же размерность подпространства равна размерности конечномерного пространства , то подпространство совпадает с самим пространством: .

Ортогональное дополнение подпространства унитарного и евклидова пространства. Теорема о представлении унитарного пространства в виде прямой суммы линейных подпространств

Определение: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства наз-ся ортогональными , если : или Лемма 1: Если , то {θ } Доказательство: Пусть , т. е. и , т. к. , то θ # Пусть ─ подпространство пространства ( или ). # Определение: Ортогональным дополнением подпространства пространства наз-ся множество всех в-в, ортогональных подпространству , т. е. = Пример: V -пространство всех геометрических (свободных) вр-в -подпространство всех в-в параллельных некоторой плоскости ─ подпространство всех в-в, перпендикулярных данной плоскости. Утверждение: Ортогональное дополнение произвольного подпространства пространства V само является подпространством данного пространства Доказательство: В самом деле, : # Лемма 2 (критерий): Пусть ─ базис в подпространстве . Вектор ; Доказательство: Необходимость: Пусть , тогда в том числе . Достаточность: Пусть , поскольку : , то #

47..

Самосопряженный оператор.

Линейный оператор

(1)

или, коротко,

(2)

называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному (), т.е. если

, (3)

иначе говоря, если матрица симметрическая:

(4)

(см. (3) и (3*) § 21). Мы считаем и действительными (см. ниже замечание 1).

Для самосопряженного оператора имеет место характерное равенство

(см. § 21, (4)). Очевидно,

. (4')

Выражение справа в (4') называется квадратичной формой -го порядка. Это непрерывная функция от вектора или, что все равно, от переменных

Будем рассматривать эту функцию на множестве значений , имеющих единичную норму . Множество есть сфера в радиуса 1 с центром в точке 0. -ограниченное множество. Кроме того, оно замкнуто: если точки последовательности принадлежат к (т.е. ) и эта последовательность стремится к некоторой точке , то неминуемо , т. е. , потому что , откуда .

Найдем максимум квадратичной формы (4') на сфере . Так как форма (4') есть непрерывная функция на замкнутом ограниченном множестве, то максимум ее на достигается для некоторого единичного вектора . Обозначим этот максимум через :

. (5)

Введем подпространство , ортогональное к вектору , т. е. множество всех векторов , каждый из которых ортогонален к . В возьмем произвольный единичный вектор . Вектор

зависит от и имеет единичную норму

.

При этот вектор обращается в . Но тогда функция

достигает своего максимума в точке и в силу необходимого условия экстремума

.

Вычислим эту производную. Имеем

.

Следовательно,

и

.

Мы получили, что вектор ортогонален ко всем единичным векторам , следовательно, и к любым векторам . Но тогда отличается от лишь множителем (см. следствие 1 в конце § 20), т. е.

,

где - некоторое число.

Из первого соотношения (равенства) в (5), учитывая, что , следует

.

Таким образом, мы доказали, что максимум квадратичной формы (4') на единичной сфере достигается в некоторой точке ,

.

При этом

.

Мы видим, что нетривиальный (не равный нулю) вектор отображается при помощи оператора в вектор , ему коллинеарный.

Такой вектор называется собственным вектором оператора , а число - принадлежащим этому вектору собственным значением.

Будем теперь рассматривать оператор на подпространстве , определяемом как множество векторов , ортогональных к вектору (выше мы его обозначали через ). есть -мерное подпространство - в нем имеются ортонормированные базисы, состоящие из векторов. Цель наша заключается в подыскании одного такого базиса, как мы увидим, естественно связанного с оператором .

Важно подчеркнуть, что образ подпространства при помощи оператора принадлежит к , потому что, если , то

,

т. е. .

Самосопряженность оператора на тривиальным образом сохраняется, потому что равенство

,

верное для всех , верно также для всех .

Итак, мы теперь рассматриваем самосопряженный линейный оператор на линейном подпространстве измерения . К нему можно применить приведенные выше рассуждения и обнаружить в существование единичного вектора такого, что

Дело в том, что единичная сфера в определяется, очевидно, как множество единичных векторов , ортогональных к . При этом

.

Мы нашли второй собственный вектор оператора - вектор и принадлежащее к нему собственное значение , очевидно, не превышающее (при уменьшении области рассмотрения максимум может только уменьшиться). При этом .

Подобным образом можно ввести подпространство , измерения , ортогональное к векторам и , показать, что оператор отображает в и определить третий единичный вектор , ортогональный к и к такой, что для него имеет место

и

.

Продолжив этот процесс по индукции до -го вектора , мы получим ортонормированную систему векторов

(6)

и систему действительных чисел

, (7)

обладающих свойствами

(8)

Мы получили полную систему собственных векторов оператора и принадлежащих им собственных значений. Так как ортонормированная система (6) принадлежит к и состоит из векторов, то она есть базис в (см. § 17). Поэтому произвольный вектор можно разложить по этой системе:

. (9)

Тогда наш самосопряженный оператор может быть записан следующим образом:

. (10)

Мы доказали теорему.

Теорема 1. Самосопряженному оператору в пространстве соответствует ортогональная система векторов (базис ) и система действительных чисел такие, что для любого представляется в виде суммы (10).

Квадратичная форма (4') соответственно записывается следующим образом:

. (4'')

На практике часто мы исходим из некоторой квадратичной формы

. (4')

Чтобы применить к ней полученные результаты, можно определить в связи с ней линейный оператор

,

определяемый равенствами

.

В силу условия это самосопряженный оператор, и к нему применима теорема 1. На языке квадратичной формы теорема 1 может быть переформулирована следующим образом.

Теорема 2. Пусть задана квадратичная форма (4') в -мерной системе координат пространства с ортами . Существует прямоугольная система координат с ортами , образующими ортогональный базис , и система действительных чисел такие, что квадратичная форма (4') в этой системе есть сумма квадратов координат вектора , помноженных соответственно на числа :

. (4''')

Переход от левой части (4''') к правой можно осуществить, если известны разложения векторов по ортам . Пусть

(см. § 17, (7), где надо заменить , соответственно на ). Так как и - ортонормированные базисы в , то матрица

ортогональная. Мы считаем, что она известна. Один и тот же вектор можно разложить по двум базисам:

.

Но тогда

и в силу линейной независимости системы получим

(11)

Таким образом, переход от координат к координатам осуществляется посредством матрицы , транспонированной к (т. е. с помощью строк матрицы или столбцов матрицы ).

Если подставить выражения (11) для в левую часть (4'"), то должны получить правую. Запишем это равенство:

,

где - символ Кронекера.

Если приравнять коэффициенты при одинаковых , то получим равенства

,

которые можно трактовать следующим образом (см. § 15, (6)). Для матрицы

самосопряженного оператора существует ортогональная матрица

,

такая, что

, (12)

где - некоторая диагональная матрица

(13)

( — действительные числа), называемая канонической.

Отметим, что для ортогональной действительной матрицы

.

Так как определители ортогональных матриц , то из (12) следует

. (14)

Мы доказали, в частности, следующую теорему.

Теорема 3. Если определитель самосопряженной матрицы неравен нулю , то все ее собственные числа не равны нулю .

Из теоремы 2 следует, что

1) Если , то квадратичная форма положительная для любых векторов , а следовательно, и любых векторов . В этом случае она называется строго положительной.

2) Если , то форма отрицательная для любых , следовательно, и любых . В этом случае она называется строго отрицательной.

3) Если и , то форма неотрицательная. Существует направление, (ось ), вдоль которого она равна нулю. Это положительная форма, но не строго.

4) Если , то форма отрицательная не строго.

5) Если , а , то форма неопределенна. Если исключить нулевую точку, то вдоль оси она положительная, вдоль же оси - отрицательная.

Оказывается, что по виду матрицы , по знаку некоторых порождаемых ею определителей можно узнать, будут ли ее собственные числа все положительные, все отрицательные или среди них есть как положительные, так и отрицательные. В этом заключается теорема Сильвестра.

Составим ряд главных миноров квадратичной формы :

.

Согласно теореме Сильвестра, которую мы не доказываем, имеют место следующие утверждения:

1. Если , то форма строго положительна (случай 1)).

2. Если , то форма строго отрицательная (случай 2)).

3. Если или и имеется , при котором , то форма заведомо не строго определенна.

4. Во всех остальных случаях квадратическая форма неопределенна.

Замечание 1. Если - комплексное пространство, а — по-прежнему действительные числа, то рассуждения, приведенные выше, мало отличаются. Формула (4') теперь записывается так

.

Число остается действительным, потому что

.

Это показывает, что приведенные выше факты (формулы (4')-(10)) остаются неизменными. В частности числа и в случае комплексного действительны. Теорема 1 полностью сохраняется для комплексного . Формула (4") теперь имеет вид

,

т. е. теперь уже квадраты чисел надо заменить на квадраты их модулей. Формула (4'") теперь уже выглядит следующим образом:

,

а в остальном теорема 2 остается в силе.

Замечание 2. Отметим, что действительность собственных значений самосопряженного линейного оператора и (действительном или комплексном) можно доказать следующим образом. Пусть - собственное значение оператора и - принадлежащий к нему собственный вектор. Так как , то

.

Ортогональность собственных векторов оператора, принадлежащих разным собственным значениям, тоже можно доказать непосредственно. В самом деле,

тогда

.

Так как , то .

47..

Линейный оператор , называется Ортогональным, если .

Для того чтобы линейный оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ОНБ была ортогональна, т. е. или .

Ортонормированный линейный оператор это оператор перехода от одного ОНБ к другому ОНБ (при таком переходе сохраняется длина вектора).