Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов
|
|
В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования хТ по отношению к узлам интерполирования.
Пусть функция f (x) задана таблицей значений fk = f (xk) = yk в узлах xk = x 0+ kh (k = 
), h = xk +1 – xk = const.
На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула
, k = 
; при условии, что D0 = 1; 0! = 1. (22)
Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы
(23)
При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).
Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t = (x – x 0)/ h. Тогда имеем:
x = x 0 + kh; 
;
, …, 
;
и (23) примет вид
N (x 0 + th) = y 0 + t 
. (24)
Выражение (24) может аппроксимировать y = f (x) на всем отрезке [ x 0, xn ]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаем t < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервала x 0 £ x £ x 1. Для других значений аргумента, например, для x 1 £ x £ x 2, вместо x 0 лучше взять значение x 1. Тогда (24) можно записать в виде
N (xi + th) = yi + 
; i = 0, 1, … (25)
Выражение (25) называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется тем, что разности D kyi вычисляются через значение функции yi, yi +1,..., yi+k, причем i + k £ n. Поэтому при больших значениях i нельзя вычислить значения разностей высших порядков (k £ n – i). Например, при i = n – 3 в (25) можно учесть только D y, D2 y, D3 y.
Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случае t = (x – xn) / h, т.е. t < 0 и (25) можно получить в виде
N (xn + th) = yn + 
. (26)
Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя.
Погрешность метода Ньютона:
,
при t = 
, x – принадлежит отрезку.
Рассмотрим пример. Вычислить значение функции y = f (x), заданной таблицей в точках x = 0, 1 и x = 0, 9. Строим таблицу 1 для конечных разностей
| x | y = f (x) | D у | D2 у | D3 у | D4 у | D5 у |
| 1, 2715 | ||||||
| 1, 1937 | ||||||
| 0, 2 | 2, 4652 | –0, 0146 | ||||
| 1, 1791 | 0, 0007 | |||||
| 0, 4 | 3, 6443 | –0, 0139 | –0, 0001 | |||
| 1, 1652 | 0, 0006 | 0, 0000 | ||||
| 0, 6 | 4, 8095 | –0, 0133 | –0, 0001 | |||
| 1, 1919 | 0, 0005 | |||||
| 0, 8 | 5, 9614 | –0, 0128 | ||||
| 1, 1391 | ||||||
| 7, 1005 |
Используя для расчета верхние значения конечных разностей, получим при x = 0, 1 значение t = (x – x 0)/ h = (0, 1 – 0) / 0, 2 = 0, 5. По формуле (24) получим
f (0, 1) 
N (0, 1) = 1, 2715 + 0, 5 ´
´ 1, 1937+ 
+ 
.
По формуле линейной интерполяции f (0, 1)» 1, 8684; D = {0, 0018}.
Значение функции в точке x = 0, 9 вычислим по формуле (26). В данном случае t = (x – xn) / h = (0, 9 – 1) / 0, 2 = –0, 5. Используя нижние значения конечных разностей, получим
f (0, 9)» N (0, 9) = 7, 1005 – 0, 5 × 1, 1391 –
– 
– 
.
Если считать по (24) f (0, 9) = 6, 532522641.
Линейная интерполяция f (0, 9) = 6, 53095; D = {0, 00155}.
|
|