Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида

Нужно найти действительные корни x и y с заданной степенью точности e.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (3) нужно привести к виду:

где j₁ и j₂ – итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде:

где при n = 0, x ₀и y ₀– начальные приближения.

Имеет место утверждение: пусть в некоторой замкнутой области R (a £ x £ A; b £ y £ B) имеется одно и только одно единственное решение x =g; y =b, тогда:

1) если j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) если начальное решение x ₀, y ₀и все последующие решения x_n, y_n также принадлежат R;

то тогда итерационный процесс (5) сходится к определенным решениям, т.е.

Оценка погрешности n -го приближения дается неравенством:

где М – наибольшее из чисел q ₁ или q ₂ в соотношениях (6) и (6`). Сходимость считается хорошей, если М < 1/2. Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность e = 10^–3.

Пример. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Рассмотрим квадрат 0 £ x £ 1; 0 £ y £ 1. Если возьмем х ₀и у ₀ из этого квадрата, тогда мы имеем:

Из анализа вида j₁ и j₂ определим область нахождения их компонент при х = у =1, в заданном квадрате.

Для j₁(х, у):

, а для j₂(х, у): –

, то при любом выборе (x ₀, y ₀) последовательность (x_k, y_k) останется в прямоугольнике:

так как 1/3+1/2=5/6, 1/3–1/6=1/6, 1/3+1/6=1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

– условия удовлетворяются, и система может быть решена по методу простых итераций.

х ₃=0, 533; у ₃=0, 351. Вычисляем дальше х ₄= 0, 533; у ₄= 0, 351 - эти значения и являются ответом.