Условия сходимости метода простой итерации для нелинейных систем уравнений второго порядка

Рассмотрим систему из двух уравнений общего вида

(3)

Нужно найти действительные корни x и y с заданной степенью точности e.

Предположим, что данная система имеет корни и их можно установить. Итак, для применения метода простой итерации систему (3) нужно привести к виду:

, (4)

где j₁ и j₂ – итерирующие функции. По ним и строится итерационный процесс решения в виде:

, n = 0, 1, 2, … (5)

где при n = 0, x ₀ и y ₀ – начальные приближения.

Имеет место утверждение: пусть в некоторой замкнутой области R (a £ x £ A; b £ y £ B) имеется одно и только одно единственное решение x =g; y =b, тогда:

1) если j₁(x, y) и j₂(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в R;

2) если начальное решение x ₀, y ₀ и все последующие решения x_n, y_n также принадлежат R;

3) если в R выполняются неравенства:

(6)

или равносильные неравенства:

(6`)

то тогда итерационный процесс (5) сходится к определенным решениям, т.е.

Оценка погрешности n -го приближения дается неравенством:

,

где М – наибольшее из чисел q ₁ или q ₂ в соотношениях (6) и (6`). Сходимость считается хорошей, если М < 1/2. Если совпадают три значащие цифры после запятой в соседних приближениях, то обеспечивается точность e = 10^–3.

Пример. С заданной точностью решить нелинейную систему второго порядка:

Запишем систему в виде (4)

Рассмотрим квадрат 0 £ x £ 1; 0 £ y £ 1. Если возьмем х ₀ и у ₀ из этого квадрата, тогда мы имеем:

Из анализа вида j₁ и j₂ определим область нахождения их компонент при х = у =1, в заданном квадрате.

Для j₁(х, у): , а для j₂(х, у): – < , то при любом выборе (x ₀, y ₀) последовательность (x_k, y_k) останется в прямоугольнике:

; ;

так как 1/3+1/2=5/6, 1/3–1/6=1/6, 1/3+1/6=1/2. Тогда для точек этого прямоугольника

;

;

– условия удовлетворяются, и система может быть решена по методу простых итераций.

Полагаем х ₀ = 1/2, у ₀ = 1/2, тогда

х _{1 = ;} у ₁= .

Вторая итерация: ; ; …

х ₃=0, 533; у ₃=0, 351. Вычисляем дальше х ₄ = 0, 533; у ₄ = 0, 351 - эти значения и являются ответом.