Метод Ньютона (касательных). Данный метод является модификацией метода простой итерации

Данный метод является модификацией метода простой итерации. Если функция f (x) непрерывна и дифференцируема, то выбрав в (6) получим эквивалентное уравнение в виде x = x – f (x)/ f '(x) = j(x), f '(x) ¹ 0.

Подбором y(x) добиваются, чтобы в (7) q = j'(x^*) º 0, что обеспечивает большую скорость сходимости в рекуррентном соотношении метода в близи искомого корня

, n = 1, 2, … (8)

Это также одношаговый метод.

Геометрическая интерпретация метода представлена на рисунке.

Проблематичным является выбор x ₀ в виду узости области сходимости вычисления производной. Часто при неудачном выборе x ₀ нет монотонного убывания последовательности | f (x_n)|, поэтому рекомендуется вычисления проверить по модифицированной схеме

n = 0, 1, 2, …

Здесь сомножители a _n Î [0, 1] выбирают так, чтобы выполнялось неравенство

| f (x_{n +1})| < | f (x_n)|.

При выборе начального приближения х ₀ предпочтительней использовать заведомо сходящийся метод, например, метод деления отрезка пополам.