Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод секущих. Этот метод является модификацией метода Ньютона в плане его реализации, т.е
|
|
Этот метод является модификацией метода Ньютона в плане его реализации, т.е. задача поиска корня связана лишь с вычислением значения функции f (x). Заменив производную f ' (xn) в методе Ньютона так называемой разделенной разностью по двум точкам xn и xn + hn, где hn – некоторый малый параметр, получим итерационную формулу
, n = 0, 1, 2, …, (9)
которая называется методом секущих.
Приближение xn +1 является абсциссой точки пересечения секущей прямой, проведенной через точки (xn, f (xn)) и (xn + hn, f (xn + hn)) с осью х.
Метод также одношаговый и при удачном подборе параметра h его сходимость, как и у метода Ньютона при упрощении его реализации.
Имеются другие интерпретации формулы (9). В частности, метод Вегстейна, в котором для выбора параметра h используют предыдущую расчетную точку, т.е. берут hn = xn –1 – xn, тогда (9) имеет вид:
, n = 0, 1, 2, … (10)
Метод Вегстейна, очевидно, двухшаговый (m = 2), т.е. для вычисления требуется задать 2 начальные точки приближения, лучше всего x 0 = а; x 1 = b. Он медленнее метода секущих, однако, требует в 2 раза меньше вычислений f (x) и поэтому оказывается более эффективным.
Целесообразным является использовать подходы к уточнению корня не выпускающие корень из выделенной «вилки», (отрезка [ a, b ]).
Так, если f (b)× f " (x) > 0 для x Î [ a, b ], берут в качестве x 0 = a и уточнение корня производится по формуле
, n =0, 1, 2, …, (11)
а если f (a)× f " (x) > 0 для x Î [ a, b ], берут в качестве x 0 = b и уточнение корня производится по формуле
, n =0, 1, 2, … (12)
|
|