Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Метод Ньютона для систем двух уравнений
|
|
Пусть дана система
Согласно методу Ньютона последовательные приближения типа (5) вычисляются по формулам
; 
,
где
; 
; n = 0, 1, 2,...
и, если Якобиан
¹ 0
решение будет единственным.
Начальные значения x 0 и y0 определяются грубо (приближенно – графически или «прикидкой»). Данный метод эффективен только при достаточной близости начального приближения к истинному решению системы.
Пример. Найти корни системы
Графическим путем можно найти приближенно x 0 = 1, 2 и y0 = 1, 7.
.
В начальной точке
= 97, 910.
По формулам получаем
= 1, 2 + 0, 0349 = 1, 2349;
= 1, 7 – 0, 0390 = 1, 6610.
Продолжая процесс вычисления при x 1 и y1, получим x 2 = 1, 2343; y2 = 1, 6615 и т.д. до достижения желаемой точности.
4.4. Метод Ньютона для систем n -го порядка с n неизвестными
Для метода Ньютона функции Fi = (x 1, x 2,..., xn) из (1) раскладываются в ряд Тэйлора с отбрасыванием производных второго и выше порядков.
Пусть известен результат предварительной итерации при решении (1) дает результат для 
= (a 1, a 2,..., an).
Задача сводится к нахождению поправок этого решения: D x 1, D x 2,..., D xn.
Тогда при очередной итерации решение будет:
x 1 = a 1 + D x 1; x 2 = a 2 + D x 2; …, xn = an + D xn. (8)
Для нахождения D xi разложим Fi (x 1, x 2,..., xn) в ряд Тейлора:
(9)
Приравняем правые части согласно (1) к нулю и получим систему линейных уравнений относительно D xi:
(10)
Значения F 1, F 2, …, Fn и их производных вычисляются при x 1= a 1, x 2= a 2,..., xn = an. Расчет ведется с учетом (8) по (9) и (10). Процесс прекращается, когда max|D xi | < e. При этом будет иметь место единственное решение системы, если Якобиан
.
По сходимости этот метод выше метода простой итерации.
|
|