Упражнения. 1) Докажите, что две квадратичные формы переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями тогда и только тогда

1) Докажите, что две квадратичные формы переводятся друг в друга невырожденными линейными преобразованиями тогда и только тогда, когда имеют одинаковые индексы инерции.

2) Квадратичная форма имеет наперед заданный канонический вид тогда и только тогда, когда ее положительный индекс инерции равен числу положительных коэффициентов в этом каноническом виде, а отрицательный индекс инерции равен числу отрицательных коэффициентов.

3) Квадратичная форма называется распадающейся, если ее можно представить в виде произведения двух линейных форм. Для того, чтобы квадратичная форма распадалась необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был не выше одного или оба индекса инерции равны по одному. Докажите это.

4) Вычислите индексы инерции для квадратичных форм

, , .