Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Понятие о моментах






    Наряду с рассмотренными выше ЧХ , в приложениях используются также и моменты более высоких порядков.

    Если задан , то величины

    и

    называются начальными и центральными смешанными моментами порядка соответственно (). Вычисляются моменты более высоких порядков по формулам для , вытекающим из обобщения ОТМО на многомерный случай.

    В частности,

    .

    Пример 1. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

         
    -1 0, 1 0, 2  
      0, 3   0, 1
      0, 1 0, 2  

    Найти: 1) законы распределения случайных величин и . Являются ли случайные величины и независимыми?

    2) корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины и некоррелированными?

    3) условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение, равное 0; вычислить и .

    Решение. 1) Для случайной величины вероятности её значений находятся суммированием вероятностей в -ой строке таблицы ():

    Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

    -1    
    0, 3 0, 4 0, 3

    Вероятности значений случайной величины находятся суммированием вероятностей в -ом столбце таблицы ():

    .

    Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

         
    0, 5 0, 4 0, 1

    Условием независимости случайных величин и является равенство:

    , для всех .

    Поскольку в данном случае

    , то

    и, следовательно, случайные величины и зависимы.

    2) Найдем математические ожидания случайных величин и , используя одномерные законы распределения:

    ;

    .

    Найдем далее дисперсии и по одномерным законам распределения:

    ;

    .

    Корреляционный момент находится только по совместному закону распределения случайных величин и :

    (отсутствующие слагаемые равны 0).

    Поскольку корреляционный момент , то случайные величины и являются некоррелированными.

    Корреляционная матрица имеет вид:

    .

    3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина определяется совокупностью условных вероятностей:

    ,

    которые равны: .

    Записывается условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина в виде таблицы:

         
     

    Найдем условное математическое ожидание :

    .

    Условная дисперсия вычисляется по формуле:

    .

    Пример 2. Плотность вероятностей двумерного случайного вектора имеет вид:

    Найти:

    а) коэффициент ;

    б) функцию распределения ;

    в) плотности вероятностей координат и ;

    г) условные плотности вероятностей и ;

    д) математическое ожидание и корреляционную матрицу вектора ;

    е) вероятность

    Являются ли случайные величины и независимыми? Являются ли они некоррелированными?

    Решение. а) Коэффициент определяется из условия нормировки:

    .

    В данном случае это условие означает, что

    .

    б) Функция распределения связана с двумерной плотностью вероятностей соотношением:

    .

    При имеем:

    .

    При имеем:

    .

    При и имеем:

    .

    Заметим, что в данной области в соответствии со свойством 5) совпадает с функцией распределения случайной величины .

    При и имеем:

    .

    В данной области совпадает с функцией распределения случайной величины .

    При и имеем:

    .

    Окончательно для функции распределения получаем выражение:

    в) Найдём плотности вероятностей координат и :

    г) Условные плотности вероятностей и находятся по формулам:

    .

    В данном случае

    д) Найдём математические ожидания и и дисперсии и , воспользовавшись одномерными законами распределения:

    ;

    в силу симметрии.

    ;

    в силу симметрии.

    Корреляционный момент находится по совместной плотности вероятностей случайных величин и :

    .

    Корреляционная матрица вектора имеет вид:

    .

    е) Вероятность вычисляется по формуле:

    ,

    где область .

    Интегрируя, получаем:

    .

    Поскольку , то случайные величины и являются зависимыми. Корреляционный момент , поэтому случайные величины являются коррелированными.







    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.