💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Числовые характеристики случайных векторов

Рассмотрим вначале двумерный .

Прежде, чем приводить соответствующие определения, сформулируем обобщение основной теоремы о математическом ожидании (ОТМО) на случай функции двух переменных .

Теорема (обобщение ОТМО на двумерный случай).

Пусть - некоторый , ЗР которого известен, - неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений , - СВ, являющаяся функцией двух случайных аргументов.

1. Если - , принимающий значения с вероятностями , и ряд сходится, то у СВ существует МО и

.

2. Если - с ПВ и несобственный интеграл сходится, то у СВ существует МО и

.

Заметим, что приведенная теорема очевидным образом обобщается и на случай функции переменных .

Теперь перейдем к рассмотрению числовых характеристик (ЧХ).

Основными ЧХ двумерного являются:

· математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания СВ и (характеризует координаты средней точки, около которой группируются другие значения вектора );

· дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии СВ и (характеризует степень разброса (рассеивания) значений вектора около его среднего значения );

· корреляционный момент СВ и - МО произведения отклонений этих СВ относительно их МО:

. (3.17)

Как будет показано далее, корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между СВ и .

Для корреляционного момента справедливо также следующее выражение:

.

Таким образом, наряду с (3.12),

. (3.18)

Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:

1. ;

2. .

Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно не рассматривать как самостоятельную ЧХ, а использовать объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты:

.

Таким образом, можно считать, что имеет две основные ЧХ:

· математическое ожидание ;

· корреляционную матрицу .

Математические ожидания и дисперсии координат могут быть вычислены как по двумерному ЗР с помощью обобщения ОТМО, так и по обычным формулам через одномерные ЗР СВ и .

Так, если - , то при имеем:

, где ,

а при или

, где .

Аналогичны выражения для и (написать самостоятельно).

Корреляционный момент вычисляется с помощью обобщения ОТМО, когда функция или и только по двумерному закону распределения:

если - , то

;

если - , то

.