Определение 8.12.

Критерий является критерием силы , если:

,

.

Кроме вероятностей ошибок первого и второго родов, каждый последовательный критерий характеризуется случайной величиной количества шагов до остановки, . Если для элементарного события наблюдение , то это означает, что критерий остановился на шаге с номером , то есть количество шагов . Отсюда следует определение для случайной величины :

, если .

Поскольку для каждого последовательного критерия количество шагов до остановки является величиной случайной, то для определена функция распределения , зависящая от параметра , и в некоторых случаях определено математическое ожидание:

.

Постановка задачи различения двух простых гипотез и понятие о последовательном критерии отношения вероятностей. Утверждение о неравенствах для границ последовательного критерия отношения вероятностей (без доказательства). «Приближенный» критерий отношения вероятностей для заданных вероятностей ошибок.

Рассмотрим основные положения последовательного анализа на примере следующей простой задачи различения двух простых гипотез. Поскольку количество случайных величин в наблюдении не ограничено, то следует считать, что задана последовательность случайных величин для которой определена последовательность функций распределения первых случайных величин:

,

.

Основная гипотеза заключается в том, что , а альтернативная гипотеза заключается в том, что .

Для каждого определим множества и : пусть – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу , а множество – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу .

Вполне очевидно, что при фиксированном :

,

поскольку критерий не может одновременно принять и и . Кроме того для любых и , :

,

,

поскольку критерий не может для одной и той же последовательности одновременно остановится на шаге и на шаге , если остановка произошла на шаге , то шага вовсе не будет.

Каждому последовательному критерию соответствуют конечные или счетные совокупности множеств и , и наоборот, задание двух совокупностей и однозначно определяет некоторый последовательный критерий , поэтому в дальнейшем будем использовать обозначение .

В соответствии с определением множеств и , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу . Очевидно, что , но не обязательно .

Согласно определению вероятность ошибки первого рода критерия – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки первого рода критерия :

, .

где вероятность вычисляется при значении .

Вероятность ошибки второго рода – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки второго рода критерия :

, .