Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Утверждение 8.9.
Пусть наблюдение имеет функцию распределения , для которой выполнены условия (С1) и (C2). Если 1) – критерий отношения вероятностей при некотором фиксированном такой, что ; 2) – произвольный критерий, отличающийся от , такой, что , Тогда: .
Заметим, что каждый критерий отношения вероятностей полностью определяется величиной (действительно, по однозначно определяется множество , и, следовательно, однозначно определяется и множество ), поэтому вероятность ошибки первого рода и вероятность ошибки второго рода для критериев отношения вероятностей являются функциями : , .
Понятие о последовательных критериях и применение последовательных критериев в задаче различения двух простых гипотез, вероятности ошибок первого и второго родов и случайная величина количества шагов до остановки.
На каждом шаге последовательный критерий принимает в точности одно из следующих решений: 1. остановиться и принять гипотезу (отклонить ); 2. продолжить и получить следующее наблюдение; 3. остановиться и принять гипотезу (отклонить ). Рассмотрим основные положения последовательного анализа на примере следующей простой задачи различения двух простых гипотез. Поскольку количество случайных величин в наблюдении не ограничено, то следует считать, что задана последовательность случайных величин для которой определена последовательность функций распределения первых случайных величин: , . Основная гипотеза заключается в том, что , а альтернативная гипотеза заключается в том, что . Для каждого определим множества и : пусть – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу , а множество – множество таких последовательностей , для которых критерий выбрал остановку на шаге и принял гипотезу . Вполне очевидно, что при фиксированном : , поскольку критерий не может одновременно принять и и . Кроме того для любых и , : , , поскольку критерий не может для одной и той же последовательности одновременно остановится на шаге и на шаге , если остановка произошла на шаге , то шага вовсе не будет. Каждому последовательному критерию соответствуют конечные или счетные совокупности множеств и , и наоборот, задание двух совокупностей и однозначно определяет некоторый последовательный критерий , поэтому в дальнейшем будем использовать обозначение . В соответствии с определением множеств и , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу , множество есть множество последовательностей , при которых критерий останавливается и принимает гипотезу . Очевидно, что , но не обязательно . Согласно определению вероятность ошибки первого рода критерия – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки первого рода критерия : , . где вероятность вычисляется при значении . Вероятность ошибки второго рода – это вероятность принять гипотезу в случае, когда верна гипотеза . Последовательный критерий принимает гипотезу , когда , а если верна гипотеза , то , поэтому вероятность ошибки второго рода критерия : , .
|