Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение 4.6.
Статистика называется асимптотически нормальной с параметрами и : при , если при каждом : , где – функция распределения , – функция Лапласа (функция распределения нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1). Теорема 4.7. (асимптотические свойства МП-оценок) Пусть – выборка из распределения с плотностью вероятностью , зависящей от скалярного параметра , – множество допустимых значений параметра, – истинное значение параметра, – МП-оценка параметра . Если, 1) при каждом и почти всех существуют производные , и ; 2) при каждом и почти всех : и , причем существуют интегралы и ; 3) при каждом и почти всех : и существует единая постоянная такая, что для всех : . 4) при каждом конечен и положителен интеграл: Тогда, 1) МП-оценка состоятельна, то есть при ; 2) МП-оценка является асимптотически нормальной; 3) МП-оценка асимптотически эффективная;
Метод порядковых статистик: построение оценок и оценка квантилей. Понятие порядковой статистики, функция распределения и функция плотности вероятности (без доказательства) порядковых статистик. Теорема Крамера об асимптотической нормальности порядковых статистик и свойства оценок по методу порядковых статистик.
Пусть – выборка из распределения , тогда функция распределения -ой порядковой статистики : Доказательство: Выберем произвольным образом и зафиксируем значение , определим на основе выборки вектор бинарных случайных величин : . Случайные величины независимы в совокупности (поскольку случайные величины независимы в совокупности) и имеют одинаковое распределение (поскольку случайные величины имеют одинаковую функцию распределения): , . Пусть – -ая порядковая статистика, по определению функция распределения : . Порядковая статистика меньше величины тогда и только тогда, когда среди величин выборки () величин меньше и величин не меньше , то есть тогда и только тогда, когда в векторе бинарных случайных величин величин равны 1 и величин равны 0, что эквивалентно тому, что случайная величина больше или равна . Поскольку все независимы и одинаково распределены, то случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами и , тогда:
Заметим, что полученное равенство справедливо для любого , поскольку величина была выбрана произвольным образом. При из (4.13) получим: . При из (4.13) получим: . Утверждение доказано.
|