Сервис онлайн-записи на собственном Telegram-боте

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое расписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.

Чат-бот для мастеров и специалистов, который упрощает ведение записей:

— Сам записывает клиентов и напоминает им о визите;
— Персонализирует скидки, чаевые, кэшбэк и предоплаты;
— Увеличивает доходимость и помогает больше зарабатывать;

Начать пользоваться сервисом

Как продвинуть сайт на первые места?

Вы создали или только планируете создать свой сайт, но не знаете, как продвигать? Продвижение сайта – это не просто процесс, а целый комплекс мероприятий, направленных на увеличение его посещаемости и повышение его позиций в поисковых системах.

Ускорение продвижения

Если вам трудно попасть на первые места в поиске самостоятельно, попробуйте технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Если ни один запрос у вас не продвинется в Топ10 за месяц, то в SeoHammer за бустер вернут деньги.

Начать продвижение сайта

Определение 4.6.

Статистика называется асимптотически нормальной с параметрами и :

при ,

если при каждом :

,

где – функция распределения , – функция Лапласа (функция распределения нормальной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).

Теорема 4.7. (асимптотические свойства МП-оценок)

Пусть – выборка из распределения с плотностью вероятностью , зависящей от скалярного параметра , – множество допустимых значений параметра, – истинное значение параметра, – МП-оценка параметра .

Если,

1) при каждом и почти всех существуют производные , и ;

2) при каждом и почти всех : и , причем существуют интегралы и ;

3) при каждом и почти всех : и существует единая постоянная такая, что для всех : .

4) при каждом конечен и положителен интеграл:

Тогда,

1) МП-оценка состоятельна, то есть при ;

2) МП-оценка является асимптотически нормальной;

3) МП-оценка асимптотически эффективная;

Метод порядковых статистик: построение оценок и оценка квантилей. Понятие порядковой статистики, функция распределения и функция плотности вероятности (без доказательства) порядковых статистик. Теорема Крамера об асимптотической нормальности порядковых статистик и свойства оценок по методу порядковых статистик.

Пусть – выборка из распределения , тогда функция распределения -ой порядковой статистики :

Доказательство:

Выберем произвольным образом и зафиксируем значение , определим на основе выборки вектор бинарных случайных величин :

.

Случайные величины независимы в совокупности (поскольку случайные величины независимы в совокупности) и имеют одинаковое распределение (поскольку случайные величины имеют одинаковую функцию распределения):

,

.

Пусть – -ая порядковая статистика, по определению функция распределения :

.

Порядковая статистика меньше величины тогда и только тогда, когда среди величин выборки () величин меньше и величин не меньше , то есть тогда и только тогда, когда в векторе бинарных случайных величин величин равны 1 и величин равны 0, что эквивалентно тому, что случайная величина больше или равна . Поскольку все независимы и одинаково распределены, то случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами и , тогда:

(4.13)

Заметим, что полученное равенство справедливо для любого , поскольку величина была выбрана произвольным образом.

При из (4.13) получим:

.

При из (4.13) получим:

.

Утверждение доказано.