Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






  • Определение 3.11.






    Статистика называется достаточной для параметра , если условная плотность вероятности (или условная вероятность в дискретном случае) случайного вектора при условии не зависит от параметра .

    Теорема 3.12. (критерий факторизации)

    Пусть – наблюдение и – функция правдоподобия вектора . Статистика является достаточной для параметра тогда и только тогда, когда функция правдоподобия имеет вид:

    ,

    где и некоторые функции.

    Доказательство:

    Рассмотрим доказательство для только для случая, когда все случайные величины () дискретны.

    1) Пусть статистика является достаточной для параметра , покажем, что:

    .

    Функция правдоподобия равна вероятности события :

    .

    Рассмотрим событие . Легко видеть, что если при некотором выполняются равенства ,..., , то при этом же выполняется равенство , поэтому, очевидно:

    откуда следует, что совместное наступление событий и есть событие :

    то есть,

    .

    Отсюда следует равенство для вероятностей событий:

    Вероятность справа представим по формуле умножения как произведение условной и безусловной вероятностей:

    Условная вероятность, есть условное распределение вектора при условии :

    .

    Поскольку статистика является достаточной для параметра , то функция не зависит от параметра и может зависеть только от ,..., :

    .

    Безусловная вероятность очевидно зависит от величины и, возможно, от параметра :

    .

    Таким образом, для функции правдоподобия получим:

    .

    2) Пусть имеет место разложение , покажем, что в этом случае статистика достаточна для параметра , то есть условная вероятность не зависит от параметра . По определению условной вероятности:

    Если , то вероятность, стоящая в числителе равна нулю независимо от значения параметра . В точке :

    .

    Таким образом,

    .

    Выражение, стоящее справа, очевидно, не зависит от параметра , поэтому условная вероятность не зависит от параметра , и следовательно статистика достаточна для параметра .

    Теорема доказана.






    © 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
    Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
    Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.