Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определение 3.11.
Статистика называется достаточной для параметра , если условная плотность вероятности (или условная вероятность в дискретном случае) случайного вектора при условии не зависит от параметра . Теорема 3.12. (критерий факторизации) Пусть – наблюдение и – функция правдоподобия вектора . Статистика является достаточной для параметра тогда и только тогда, когда функция правдоподобия имеет вид: , где и некоторые функции. Доказательство: Рассмотрим доказательство для только для случая, когда все случайные величины () дискретны. 1) Пусть статистика является достаточной для параметра , покажем, что: . Функция правдоподобия равна вероятности события : . Рассмотрим событие . Легко видеть, что если при некотором выполняются равенства ,..., , то при этом же выполняется равенство , поэтому, очевидно: откуда следует, что совместное наступление событий и есть событие : то есть, . Отсюда следует равенство для вероятностей событий: Вероятность справа представим по формуле умножения как произведение условной и безусловной вероятностей: Условная вероятность, есть условное распределение вектора при условии : . Поскольку статистика является достаточной для параметра , то функция не зависит от параметра и может зависеть только от ,..., : . Безусловная вероятность очевидно зависит от величины и, возможно, от параметра : . Таким образом, для функции правдоподобия получим: . 2) Пусть имеет место разложение , покажем, что в этом случае статистика достаточна для параметра , то есть условная вероятность не зависит от параметра . По определению условной вероятности: Если , то вероятность, стоящая в числителе равна нулю независимо от значения параметра . В точке : . Таким образом, . Выражение, стоящее справа, очевидно, не зависит от параметра , поэтому условная вероятность не зависит от параметра , и следовательно статистика достаточна для параметра . Теорема доказана.
|