💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Построение наикратчайшего доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией.

Пусть – выборка из нормального распределения с неизвестным математическим ожиданием и известной дисперсией , построим доверительный интервал для математического ожидания с уровнем доверия .

Поскольку все величины выборки имеют нормальное распределение, то статистика также имеет нормальное распределение с параметрами:

,

.

Тогда статистика :

,

имеет нормальное распределение не зависящее от неизвестного параметра и одновременно при всех реализациях функция как функция является непрерывной и убывающей. Согласно определению – центральная статистика для . Выберем числа и так, чтобы выполнялись равенства:

или

,

где - функция распределения нормальной случайной величины . Для нахождения минимума функции при условии воспользуемся методом Лагранжа, с функцией Лагранжа:

,

которая приводит к системе:

.

У второго уравнения системы или , очевидно, имеется только два решения и , первое решение не удовлетворяет третьему уравнению системы , тогда:

Используя свойство функции нормального распределения получим:

.

Таким образом, есть квантиль уровня распределения и . Значению можно придать иную интерпретацию:

,

то есть является квантилью уровня распределения . Таким образом, получим равенство для вероятностей:

.

Преобразовывая неравенства, получим:

,

.

Преобразование неравенств фактически является нахождением решения системы:

.

Таким образом, при всяком значении параметра :

,

тогда интервал ():

,

где – является квантилью уровня распределения , является доверительным интервалом для с уровнем доверия .