Вопрос 30. Непрерывность функции имеющей производную(36)

Т: Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: Дано lim _{x→ 0} y \ x

Рассмотри т.х. придадим аргументу х прирощение х, тогда функция получит прирощение у

Можно записать: у= ℓ (фи)\ х* х

Предел в этом равенстве к пределу

lim _{x→ 0} Ay= lim _{x→ 0} y\ x lim _{x→ 0} x = y’*0=0

lim _{x→ 0} y=0

Обратная теорема неверна, т.к можно привести пример функции которая непрерывна в точке, но не дефференинируема

f(y)

Пример:

f(x)=|x|= x, x> =0

-x, x< 0

0 X

Исследуем точку х=0

Левый предел равен правому и равен значению функции в этой точке => в точке х=0 функция непрерывна f(0-0)-f(0+0)=f(0); x=0

Из чертежа видно, что в точке х> 0 нельзя провести касательную, и нет общего положения

Следовательно функции в точке х=0 не имеет производной, то есть недеферинируема