💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Понятие производной функции в точке. Односторонние и бесконечные производные.

Пусть функция f (x) = y определена в некоторой окрестности точки x₀.

Определение 8.1. Производной функции f в точке x₀ называется число, обозначаемое , равное пределу отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ∆ x при стремлении ∆ x к нулю, если этот предел существует:

или, если обозначить , то при и

Определение 8.2. Функция, имеющая конечную производную в точке х₀, называется дифференцируемой в этой точке.

Определение 8.3. Если в точкех₀ функция f (x) непрерывна, а предел (8.1) равен бесконечности (+∞ или − ∞), то говорят о бесконечной производной.

Определение 8.4. Пределы

называются правосторонней и левосторонней производной, соответственно.

Для существования производной необходимо и достаточно, чтобы существовали обе односторонние производные и и они были равны друг другу:

Производная обозначается и другими способами, например:

Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.

На кривой f (x) y выберем две различные точки М₀ и М₁ (рис.8.1) и через них проведем единственную прямую l, которая называется секущей к графику. Используя уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и которое имеет вид , получим уравнение секущей

Сравнивая уравнение (8.4) с уравнением прямой с угловым ко-эффициентом, заключаем, что угловой коэффициент k секущей l имеет вид

Тогда и уравнение секущей (8.4) перейдет в уравнение касательной:

Таким образом, производная функции f (x) = y, вычисленная в точке х= х₀ есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f (x) =y в точке

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Определение 8.6. Прямая, перпендикулярная к касательной в точке М₀ называется нормалью к кривой f (x) =y в точке М₀.

Из условия k₁ k₂ =− 1 перпендикулярности прямых заключаем, что угловой коэффициент k_н нормали выражается через угловой коэффициент k_кас касательной по формуле Следовательно, уравнение нормали к кривой f (x) =y в точке М₀ имеет вид

Определение 8.7. Пусть две кривые f (x) =y и g (x) = y пересекаются в точке т.е. Углом α между заданными кривыми называется угол между касательными к кривым, проведенным в точке их пересечения:

Док-во: x=siny

Y^/= 1_ = 1____ = 1________

x^/_y cosy cos(arcsinx)

= 1___________ = 1___

√ 1-sin²*arccosx √ 1-x²

38. Производная обратной функции. (с доказательством)