Ряд и интеграл Фурье.

Каждая периодическая ф-ция может быть представлена в виде ряда по тригонометрич-ким ф-циям.S(k=1; Ґ)-значит сумма по к от 1 до Ґ

f(t)=C₀+S(k=1; Ґ)C_kcos(2pkt/T-j_k), где Т-период ф-ции, j_k – фазовцый сдвиг. Каждое отдельное слагаемое под суммой называется гармоникой. С₀ – постоянная составляющая или средняя за период

f(t)=C₀+S(k=1; Ґ)(a_kcos2pkt/T+b_ksin2pkt/T),

tg j_k=b_k/a_k

Ряд Фурье можно записать в комплекс.oй форме:

(1)

(2)

2С_k=c_kexp(-jj_k)=a_k-jb_k

Рассмотрим непериодические ф-ции.

Не строгий, но наглядный переход можно осуществить, устремляя Тк к Ґ, т.е. считаем непериодическую ф-цию периодической с бесконечным периодом. Из (2) и (1):

w1=2p/T-расстояние между двумя гармониками спектра w2=2pк/T-текущая частота При T®Ґ, dw=2p/T=w1®0

Для периодической ф-ции спектр линейчатый (или дискретный). Для непериодической ф-ции при увеличении периода Т расстояние между соседними гармониками уменьшается, при Т®Ґ это расстояние становится бесконечно малым, т.е. гармоники сливаются, спектр становится непрерывным.

=

-обратное преобразование Фурье

– прямое преобразование Фурье